ベクトルの基本的性質ベクトルの3重積位置ベクトル、3点、直線、垂線、長さ

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ベクトル解析演習〈理工系の数学入門コース/演習新装版〉 (戸田盛和(著)、渡辺慎介(著)、岩波書店)の第1章(ベクトルの基本的性質)、1-5(ベクトルの3重積)、問題5の解答を求めてみる。

E = a (B - C)

D = - A + B + a E

| D \times E | = | (- A + B + a E) \times E |

= | - A \times E + B \times E + a E \times E |

= | - A \times E + B \times E |

= | - A \times a (B - C) + B \times a (B - C) |

= | a | | - A \times B + A \times C + B \times B - B \times C |

= | a | | A \times B + B \times C + C \times A |

また、

| D \times E | = L | E | = L (a (B - C)) = L | a | | B - C |

でもある。

よって、

L | a | | B - C | = | a | | A \times B + B \times C + C \times A |

L = \frac{| A \times B + B \times C + C \times A |}{| B - C |}