ベクトルの内積微分可能なベクトル値関数内積の1階微分、2階微分

学習環境

内積・外積・空間図形を通してベクトルを深く理解しよう (数学のかんどころ 1) (飯高茂(著, 編集)、中村滋(編集)、岡部恒治(編集)、桑田孝泰(編集)、共立出版)の第2章(ベクトルの内積)、2.4(微分可能なベクトル値関数)、問題2.7の解答を求めてみる。

\frac{d}{dx} (f \cdot g) = \frac{d}{dx} (\sum_{k = 1}^{n} f_{k} g_{k})

= \sum_{k = 1}^{n} \frac{d}{dx} (f_{k} g_{k})

= \sum_{k = 1}^{n} (\frac{d f_{k}}{dx} g_{k} + f_{k} \frac{d g_{k}}{dx})

= \sum_{k = 1}^{n} \frac{d f_{k}}{dx} g_{k} + \sum_{k = 1}^{n} f_{k} \frac{d g_{k}}{dx}

= \frac{d f}{dx} \cdot g + f \cdot \frac{d g}{dx}

\frac{d^{2}}{d x^{2}} (f \cdot g) = \frac{d^{2} f}{d x^{2}} \cdot g + \frac{d f}{dx} \cdot \frac{d g}{dx} + \frac{d f}{dx} \cdot \frac{d g}{dx} + f \cdot \frac{d^{2} g}{d x^{2}}

= \frac{d^{2} f}{d x^{2}} \cdot g + 2 \frac{d f}{dx} \cdot \frac{d g}{dx} + f \cdot \frac{d^{2} g}{d x^{2}}

コード(Wolfram Language, Jupyter)

f[x] := {f1[x], f2[x]}

g[x] := {g1[x], g2[x]}

f'[x]

D[f[x], x]

D[f[x] . g[x], x]

% == D[f[x], x] . g[x] + f[x] . D[g[x], x]

D[f[x] . g[x], {x, 2}]

Simplify[%]

% == D[f[x], {x, 2}] . g[x] + 2 D[f[x], x] . D[g[x], x] + f[x] . D[g[x], {x, 2}]

Simplify[%]