数学のブログ

ベクトルの内積 微分可能なベクトル値関数 ノルム、定数、直交、内積、零

内積・外積・空間図形を通してベクトルを深く理解しよう (数学のかんどころ 1) (飯高 茂(著, 編集)、中村 滋(編集)、岡部 恒治(編集)、桑田 孝泰(編集)、共立出版)の第2章(ベクトルの内積)、2.4(微分可能なベクトル値関数)、絶対値の問題2.8の解答を求めてみる。

問題の仮定より、

| u | = 1

すなわち

∑ k = 1 n f k 2 = 1

両辺を2乗すれば

∑ k = 1 n f k 2 = 1

両辺を微分すると、

d dx ∑ k = 1 n f k 2 = d dx 1
∑ k = 1 n 2 f k f k ' = 0
∑ k = 1 n f k f k ' = 0
u · u ' = 0

よって、 2つベクトル値関数

u , u '

は直交する。

コード(Wolfram Language, Jupyter)

u[t] := {Cos[t], Sin[t]}

Norm[u[t]]
Output
Simplify[%, Element[t, Reals]]

1
u[t] . u'[t]

0
o = {0, 0}

{0, 0}
Show[
    ParametricPlot[u[t], {t, -2Pi, Pi}],
    Graphics[{
        Green, Arrow[Table[{o, u[s]}, {s, 0, 5}]],
        Orange, Arrow[Table[{o, u'[s]}, {s, 0, 5}]]
    }]
]
Output