フーリエ級数展開絶対値、無限級数、三角関数、余弦、平方の逆数、奇数、偶数

学習環境

Pythonで学ぶフーリエ解析と信号処理 (神永正博)(著)、コロナ社)の第2章(フーリエ級数展開)、章末問題2-14の解答を求めてみる。

0 = \frac{π}{2} - \frac{4}{π} \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{{(2 k - 1)}^{2}}

\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{{(2 k - 1)}^{2}} = \frac{π}{2} \cdot \frac{π}{4} = \frac{π^{2}}{8}

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}} = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{{(2 n - 1)}^{2}} + \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{{(2 n)}^{2}}

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}} = \frac{π^{2}}{8} + \frac{1}{4} \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}} = \frac{4}{3} \cdot \frac{π^{2}}{8} = \frac{π^{2}}{6}

コード(Wolfram Language, Jupyter)

Sum[1/(2k-1)^2, {k, 1, Infinity}]

Sum[1/n^2, {n, 1, Infinity}]

ListLinePlot[
    Table[
        Sum[1/(2k-1)^2, {k, 1, n}],
        {n, 1, 10}
    ]
]

ListLinePlot[
    Table[
        Sum[1/k^2, {k, 1, n}],
        {n, 1, 10}
    ]
]

Pi^2 / 8 // N

1.2337

Pi^2/6 // N

1.64493