フーリエ級数展開累乗、平方、無限級数の和、部分積分法

学習環境

Pythonで学ぶフーリエ解析と信号処理 (神永正博)(著)、コロナ社)の第2章(フーリエ級数展開)、章末問題2-19の解答を求めてみる。

a_{n} = \frac{2}{2 π} \int_{- π}^{π} t^{2} \cos n t dt = \frac{2}{π} \int_{0}^{π} t^{2} \cos n t dt

a_{0} = \frac{2}{π} \int_{0}^{π} t^{2} dt = \frac{2}{3 π} {[t^{3}]}_{0}^{π} = \frac{2 π^{2}}{3}

n \neq 0

のとき、

a_{n} = \frac{2}{π} \int_{0}^{π} t^{2} \cos n t dt

= \frac{2}{π} ({[\frac{t^{2} \sin t}{n}]}_{0}^{π} - 2 \int_{0}^{π} \frac{t \sin n t}{n} dt)

= \frac{4}{n π} ({[\frac{t \cos n t}{n}]}_{0}^{π} - \frac{1}{n} \int_{0}^{π} \cos n t dt)

= \frac{4}{n^{2} π} ({(- 1)}^{n} π - {[\frac{\sin n t}{n}]}_{0}^{π})

= \frac{4 {(- 1)}^{n}}{n^{2}}

b_{n} = \frac{2}{2 π} \int_{- π}^{π} t^{2} \sin n t dt = 0

よって、求めるフーリエ展開は、

t^{2} \sim \frac{π^{2}}{3} + \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{4 {(- 1)}^{n}}{n^{2}} \cos n t = \frac{π^{2}}{3} - \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{4 {(- 1)}^{n - 1}}{n^{2}} \cos n t

よって、

0 = \frac{π^{2}}{3} - \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{4 {(- 1)}^{n - 1}}{n^{2}}

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{{(- 1)}^{n - 1}}{n^{2}} = \frac{π^{2}}{12}

コード(Python)

#!/usr/bin/env python3
import random
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

print('2-19.')


def partialsum(t, n):
    return np.pi ** 2 / 3 + \
        4 * sum((-1) ** k / k ** 2 * np.cos(k * t)
                for k in range(1, n + 1))


vectorized = np.vectorize(partialsum)
t = np.linspace(-np.pi, np.pi, 10000)
n = 5
for m in range(1, n + 1):
    plt.plot(t, t ** 2)
    plt.plot(t, vectorized(t, m))
    plt.legend(['t^2', f'm = {m}'])
    plt.savefig(f'sample9_{m - 1}.png')
    plt.show()

入出力結果

% ./sample9.py 
2-19.
%