“離散的”な世界数学的帰納法と数列数列の帰納的定義 2次方程式の解、同じ漸化式、一般項

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新装版数学読本3 (松坂和夫(著)、岩波書店)の第13章(“離散的”な世界 - 数列)、13.2(数学的帰納法と数列)、数列の帰納的定義の問37の解答を求めてみる。

\begin{array}{l} x^{2} - 8 x + 15 = 0 \\ (x - 3) (x - 5) = 0 \\ x = 3, 5 \end{array}

b_{n} = 3^{n - 1} A + 5^{n - 1} B

という数列を考える。

\begin{array}{l} 3^{2} = 8 \cdot 3 - 15 \\ 5^{2} = 8 \cdot 5 - 15 \end{array}

\begin{array}{l} 3^{n + 1} = 8 \cdot 3^{n} - 15 \cdot 3^{n - 1} \\ 5^{n + 1} = 8 \cdot 5^{n} - 15 \cdot 5^{n - 1} \end{array}

b_{n + 2} = 3^{n + 1} A + 5^{n + 1} B

= (8 \cdot 3^{n} - 15 \cdot 3^{n \cdot 1}) A + (8 \cdot 5^{n} - 15 \cdot 5^{n - 1}) B

= 8 (3^{n} A - 5^{n} B) - 15 (3^{n - 1} A + 5^{n - 1} B)

= 8 b_{n + 1} - 15 b_{n}

\begin{array}{l} b_{1} = 3^{1 - 1} A + 5^{1 - 1} B = A + B = 2 \\ b_{2} = 3^{2 - 1} A + 5^{2 - 1} B = 3 A + 5 B = 7 \end{array}

を満たすA、 Bを求める。

\begin{array}{l} B = 2 - A \\ 3 A + 10 - 5 A = 7 \\ 2 A = 3 \end{array}

\begin{array}{l} A = \frac{3}{2} \\ B = \frac{1}{2} \end{array}

このとき、

\begin{array}{l} b_{1} = a_{1} \\ b_{2} = a_{2} \\ b_{n + 2} = 8 b_{n + 1} - 15 b_{n} \\ a_{n + 2} = 8 a_{n + 1} - 15 a_{n} \end{array}

よって、

a_{n} = b_{n}

ゆえに求める一般項は、

a_{n} = \frac{3}{2} \cdot 3^{n - 1} + \frac{1}{2} \cdot 5^{n - 1} = \frac{3^{n}}{2} + \frac{5^{n - 1}}{2}

コード(Wolfram Language, Jupyter)

a[n_] := 3^n/2 + 5^(n-1)/2

a[1]

a[2]

a[n+2] - 8 a[n+1] + 15a[n]

Simplify[%]