数学のブログ

“離散的”な世界 数学的帰納法と数列 数列の帰納的定義 2つの数列、漸化式、和と差、一般項

新装版 数学読本3 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第13章(“離散的”な世界 - 数列)、13.2(数学的帰納法と数列)、数列の帰納的定義の問38の解答を求めてみる。

a n + 1 + b n + 1 = 9 a n + 9 b n = 9 ( a n + b n ) a 1 + b 1 = 2 + 1 = 3

よって、 数列

( a n + b n ) n ∈ ℕ \ { 0 }

は初項3、 公比9の等比数列なので一般項は

a n + b n = 3 · 9 n - 1

また、

a n + 1 - b n + 1 = 3 a n - 3 b n = 3 ( a n - b n ) a 1 - b 1 = 2 - 1 = 1

よって、数列

( a n - b n ) n ∈ ℕ \ { 0 }

は初項1、 公比3の等比数列なので一般項は

a n - b n = 3 n - 1

よって、

2 a n = 3 · 9 n - 1 + 3 n - 1 a n = 1 2 ( 3 · 9 n - 1 + 3 a - 1 ) = 3 n - 1 2 ( 3 n + 1 )
b n = a n - 3 n - 1 = 3 n - 1 2 ( 3 n + 1 ) - 3 n - 1 = 3 n - 1 2 ( 3 n - 1 )

コード(Wolfram Language, Jupyter)

a[n_] := 3^(n-1)/2(3^n+1)
b[n_] := 3^(n-1)/2(3^n-1)

a[1]

2
b[1]

1
a[n+1] == 6a[n] + 3b[n]
Output
Simplify[%]
Output