数学のブログ

“離散的”な世界数学的帰納法と数列数列の帰納的定義漸化式、2次方程式の解、一般項

新装版数学読本3
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新装版数学読本3 (松坂和夫(著)、岩波書店)の第13章(“離散的”な世界 - 数列)、13.2(数学的帰納法と数列)、数列の帰納的定義の問36の解答を求めてみる。

2次方程式

\begin{array}{l} x^{2} = \frac{x + 1}{2} \\ 2 x^{2} - x - 1 = 0 \end{array}

の解をa、b とする。

一般頃が

b_{n} = A a^{n - 1} + B b^{n - 1}

である数列

{(b_{n})}_{n \in ℕ \ {0}}

について考える。

\begin{array}{l} a^{2} = \frac{a + 1}{2} \\ b^{2} = \frac{b + 1}{2} \end{array}

なので、

\begin{array}{l} a^{n + 1} = \frac{1}{2} (a^{n} + a^{n - 1}) \\ b^{n + 1} = \frac{1}{2} (b^{n} + b^{n - 1}) \end{array}

よって、

b_{n + 2} = A a^{n - 1} + B b^{n - 1}

= \frac{1}{2} A (a^{n} + a^{n - 1}) + \frac{1}{2} B (b^{n} + b^{n - 1})

= \frac{1}{2} ((A a^{n} + B b^{n}) + (A a^{n - 1} + B b^{n - 1}))

= \frac{1}{2} (b_{n + 1} + b_{n - 1})

\begin{array}{l} b_{1} = 0 \\ b_{2} = 1 \end{array}

を満たすような定数A、 Bを求める。

\begin{array}{l} A + B = 0 \\ A a + B b = 1 \end{array}

\begin{array}{l} B = - A \\ A a - A b = 1 \\ (a - b) A = 1 \end{array}

上記の2次方程式の判別式について、

D = 1 + 8 = 9 \neq 0

なので、

a \neq b

よって、

\begin{array}{l} A = \frac{1}{a - b} \\ B = - \frac{1}{a - b} \end{array}

このようにA、 B を定めれば、

b_{n} = \frac{1}{a - b} (a^{n - 1} - b^{n - 1})

また、

\begin{array}{l} a_{1} = b_{1} \\ a_{2} = b_{2} \\ n \geq 2 \\ a_{n + 2} = \frac{a_{n + 1} + a_{n}}{2} \\ b_{n + 2} = \frac{b_{n + 1} + b_{n}}{2} \end{array}

なので、

a_{n} = b_{n}

よって、

a_{n} = \frac{1}{a - b} (a^{n - 1} - b^{n - 1})

2次方程式の解を求める。

x = \frac{1 \pm 3}{4} = - \frac{1}{2}, 1

ゆえに、求める一般項は、

a_{n} = \frac{1}{1 + \frac{1}{2}} (1^{n - 1} - {(- \frac{1}{2})}^{n - 1}) = \frac{2}{3} (1 - {(- \frac{1}{2})}^{n - 1})

問35の階差数列、等比級数による結果と同じことが確認できた。