数学のブログ

“離散的”な世界 数学的帰納法と数列 数列の帰納的定義 漸化式、2次方程式の解、一般項

新装版 数学読本3 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第13章(“離散的”な世界 - 数列)、13.2(数学的帰納法と数列)、数列の帰納的定義の問36の解答を求めてみる。

2次方程式

x 2 = x + 1 2 2 x 2 - x - 1 = 0

の解をa、b とする。

一般頃が

b n = A a n - 1 + B b n - 1

である数列

( b n ) n ∈ ℕ \ { 0 }

について考える。

a 2 = a + 1 2 b 2 = b + 1 2

なので、

a n + 1 = 1 2 ( a n + a n - 1 ) b n + 1 = 1 2 ( b n + b n - 1 )

よって、

b n + 2 = A a n - 1 + B b n - 1
= 1 2 A ( a n + a n - 1 ) + 1 2 B ( b n + b n - 1 )
= 1 2 ( ( A a n + B b n ) + ( A a n - 1 + B b n - 1 ) )
= 1 2 ( b n + 1 + b n - 1 )
b 1 = 0 b 2 = 1

を満たすような定数A、 Bを求める。

A + B = 0 A a + B b = 1
B = - A A a - A b = 1 ( a - b ) A = 1

上記の2次方程式 の判別式について、

D = 1 + 8 = 9 ≠ 0

なので、

a ≠ b

よって、

A = 1 a - b B = - 1 a - b

このようにA、 B を定めれば、

b n = 1 a - b ( a n - 1 - b n - 1 )

また、

a 1 = b 1 a 2 = b 2 n ≥ 2 a n + 2 = a n + 1 + a n 2 b n + 2 = b n + 1 + b n 2

なので、

a n = b n

よって、

a n = 1 a - b ( a n - 1 - b n - 1 )

2次方程式の解を求める。

x = 1 ± 3 4 = - 1 2 , 1

ゆえに、 求める一般項は、

a n = 1 1 + 1 2 ( 1 n - 1 - ( - 1 2 ) n - 1 ) = 2 3 ( 1 - ( - 1 2 ) n - 1 )

問35の階差数列、等比級数による結果と同じことが確認できた。