数学のブログ

“離散的”な世界 数学的帰納法と数列 数列の帰納的定義 漸化式、階差数列、等比級数

新装版 数学読本3 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第13章(“離散的”な世界 - 数列)、13.2(数学的帰納法と数列)、数列の帰納的定義の問35の解答を求めてみる。

1

a a + 2 - a n + 1 = a n + 1 + a n 2 - a n + 1 = - 1 2 ( a n + 1 - a n )
a 2 - a 1 = 1

よって、 問題の数列

( a n ) n ∈ ℕ \ { 0 }

の階差数列は、初項、 公比がそれぞれ

1 , - 1 2

の等比数列である。

2

b n = ( - 1 2 ) n - 1

3

a n = 0 + ∑ k = 1 n - 1 ( - 1 2 ) k - 1 = 1 - ( - 1 2 ) n - 1 1 - ( - 1 2 ) = 2 3 ( 1 - ( - 1 2 ) n - 1 )

コード(Wolfram Language, Jupyter)

a[n_] := 2/3(1-(-1/2)^(n-1))

a[n+1] - a[n]
Output
Simplify[%]
Output
a[1]

0
a[2]

1
a[n+2] == (a[n+1] + a[n])/2
Output
Simplify[%]
Output
ListLinePlot[{
    Table[a[n], {n, 1, 10}],
    Table[a[n+1]-a[n], {n, 1, 10}]
}]
Output