t-massann( @ MassannT )さんのツイート、ブログ、数学に再び挑戦している - あれこれ備忘録@はてなブログの曲線の交点、逆正接関数の問題について

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数学に再び挑戦している --- https://t.co/Gvcq3TI7Fx #過去記事
— t-massann (@MassannT) September 14, 2020

求め方が何も書かれていない

演算で解けるのかどうかわかりません

っていうのが気になったので解答を求めてみることに。ついでにその次にある逆正接関数についての等式も幾何学的にではなく演算で(代数的に？)証明してみた。

\begin{array}{l} x^{2} - 4 = \sqrt{x + 4} \\ x^{4} - 8 x^{2} + 16 = x + 4 \\ x^{4} - 8 x^{2} - x + 12 = 0 \\ (x^{2} + x - 3) (x^{2} - x - 4) = 0 \end{array}

\begin{array}{l} x^{2} + x - 3 = 0 \\ x^{2} - x - 4 = 0 \end{array}

x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 12}}{2}, \frac{1 \pm \sqrt{1 + 16}}{2}

x = \frac{- 1 \pm \sqrt{13}}{2}, \frac{1 \pm \sqrt{17}}{2}

問題の仮定より

x \geq 0

なので

x = \frac{- 1 + \sqrt{13}}{2}, \frac{1 + \sqrt{17}}{2}

よって、

\begin{array}{l} y = {(\frac{- 1 + \sqrt{13}}{2})}^{2} - 4 = \frac{14 - 2 \sqrt{13}}{4} - 4 = \frac{7 - \sqrt{13}}{2} - 4 = \frac{- 1 - \sqrt{13}}{2} \\ y = {(\frac{1 + \sqrt{17}}{2})}^{2} - 4 = \frac{18 + 2 \sqrt{17}}{4} - 4 = \frac{9 + \sqrt{17}}{2} - 4 = \frac{1 + \sqrt{17}}{2} \end{array}

また

y = \sqrt{x + 4}

よりyは非負なので、求める交点は、

(\frac{1 + \sqrt{17}}{2}, \frac{1 + \sqrt{17}}{2})

もう1つの問題について。

\tan^{- 1} \frac{1}{2} + \tan^{- 1} \frac{1}{3}

= \arctan \frac{1}{2} + \arctan \frac{1}{3}

\begin{array}{l} y = \arctan \frac{1}{2} \\ z = \arctan \frac{1}{3} \end{array}

とおくと、

\begin{array}{l} \tan y = \frac{1}{2} \\ \tan z = \frac{1}{3} \end{array}

\tan (y + z)

= \frac{\tan y + \tan z}{1 - \tan y \tan z}

= \frac{\frac{1}{2} + \frac{1}{3}}{1 - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}}

= \frac{5}{6} \cdot \frac{1}{1 - \frac{1}{6}}

= \frac{5}{6} \cdot \frac{6}{5}

= 1

（正弦、余弦、正接の加法定理を利用）

よって、

\begin{array}{l} \tan (y + z) = 1 \\ y + z = \frac{π}{4} \end{array}

ゆえに、

\tan^{- 1} \frac{1}{2} + \tan^{- 1} \frac{1}{3} = \frac{π}{4}

（証明終）

コード(Wolfram Language, Jupyter)

Solve[y == x^2 - 4 && y == Sqrt[x + 4] && x >= 0, {x, y}]

Plot[
    {x^2 - 4, Sqrt[x + 4], 1 / 2 (1 + Sqrt[17])},
    {x, 0, 5},
    PlotLegends -> "Expressions"
]

ArcTan[1/2] + ArcTan[1/3] == Pi / 4