数学のブログ

連続写像の空間ノルム空間距離空間、和とスカラー倍

解析入門(中)
(松坂和夫数学入門シリーズ 5)
楽天ブックス
Yahoo!ショッピング
au PAY マーケット

学習環境

解析入門(中) (松坂和夫数学入門シリーズ 5) (松坂和夫 (著)、岩波書店)の第13章(連続写像の空間)、13.1(ノルム空間)、問題3の解答を求めてみる。

a を X の任意の元とする。

このとき任意の正の実数

ε > 0

に対して、

f, g \in C (X, Y)

なので、ある正の実数

δ_{1}, δ_{2} \in ℝ

が存在して、任意の X の元 x に対して

\begin{array}{l} d (x, a) < δ_{1} \Rightarrow ∥ f (x) - f (a) ∥ < \frac{ε}{2} \\ d (x, a) < δ_{2} \Rightarrow ∥ g (x) - g (a) ∥ < \frac{ε}{2} \end{array}

よって、

δ = \min {δ_{1}, δ_{2}}

とおくと、

d (x, a) < δ

ならば

∥ f (x) - f (a) ∥ < \frac{ε}{2} \land ∥ g (x) - g (a) ∥ < \frac{ε}{2}

\begin{array}{l} ∥ (f + g) (x) - (f + g) (a) ∥ \\ = ∥ f (x) - f (a) + g (x) - g (a) ∥ \\ \leq ∥ f (x) - f (a) ∥ + ∥ g (x) - g (a) ∥ \\ < \frac{ε}{2} + \frac{ε}{2} \\ = ε \end{array}

よって、

f + g \in C (X, Y)

である。

また、 c を任意の実数とする。

c = 0

のとき、

∥ c f (x) - c f (a) ∥ = 0 < ε

c \neq 0

のとき、ある正の実数

δ > 0

が存在して、

d (x, a) < δ

ならば

∥ f (x) - f (a) ∥ < \frac{ε}{| c |}

が成り立つ。

このとき、

\begin{array}{l} ∥ c f (x) - c f (a) ∥ \\ = | c | ∥ f (x) - f (a) ∥ \\ < ε \end{array}

よって、

c f \in C (X, Y)

である。

（証明終）