連続写像の空間ストーン・ワイエルシュトラスの定理、関数間、有界写像、連続写像、有界連続写像全体の集合、和とスカラー倍

学習環境

解析入門(中) (松坂和夫数学入門シリーズ 5) (松坂和夫 (著)、岩波書店)の第13章(連続写像の空間)、13.2(ストーン・ワイエルシュトラスの定理)、問題1の解答を求めてみる。

任意の

f, g \in B (X)

任意の

c \in ℝ

に対して、ある実数a、 b が存在して、

\begin{array}{l} | f | \leq a \\ | g | \leq b \end{array}

なので、

| f + g | \leq | f | + | g | \leq a + b

| c f | \leq | c | | f | \leq | c | a

よって

\begin{array}{l} f + g \in B (X) \\ c f \in B (X) \end{array}

すなわち和とスカラー信も有界写像である。

ゆえに、実数値有界写像全体の集合

B (X)

は関数環である。

\begin{array}{l} f, g \in C (B) \Rightarrow f + g \in C (B) \\ c \in ℝ, f \in C (B) \Rightarrow c f \in C (B) \end{array}

よって連続写像全体の集合は関数環である。

上記より

\begin{array}{l} f, g \in C^{B} \Rightarrow f + g \in C^{B} \\ c \in ℝ, f \in C^{B} \Rightarrow c f \in C^{B} \end{array}

よって、有界連続写像は関数環である。

（証明終）