数学のブログ

連続写像の空間ストーン・ワイエルシュトラスの定理複素平面上の単位円上の複素数全体の集合、コンパクト空間、複素係数の多項式全体の集合、関数環

解析入門(中)
(松坂和夫数学入門シリーズ 5)
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学習環境

解析入門(中) (松坂和夫数学入門シリーズ 5) (松坂和夫 (著)、岩波書店)の第13章(連続写像の空間)、13.2(ストーン・ワイエルシュトラスの定理)、問題4の解答を求めてみる。

a

f、 gを問題の関数全体の集合の任意の元とし、

\begin{array}{l} f (e^{i θ}) = \sum_{n = 0}^{N} c_{n} e^{i n θ} \\ g (e^{i θ}) = \sum_{n = 0}^{M} d_{n} e^{i n θ} \end{array}

とおく。

Cを任意の複素数とする。

このとき、

N \leq M

のとき、

\begin{array}{l} f (e^{i θ}) + g (e^{i θ}) \\ = \sum_{n = 0}^{N} (c_{n} + d_{n}) e^{i θ} + \sum_{n = N + 1}^{M} d_{n} e^{i θ} \end{array}

c f (e^{i θ}) = \sum_{n = 0}^{N} (c c_{n}) e^{i θ}

\begin{array}{l} f (e^{i θ}) g (e^{i θ}) \\ = \sum_{n = 0}^{N + M} h_{n} e^{i n θ} \\ h_{n} = (c_{j} d_{k}) e^{i n θ} (j + k = n) \end{array}

よって、関数環である。

N \geq M

のときも同様。

任意の

e^{i α}, e^{i β} \in X

に対して、

e^{i α} \neq e^{i β}

のとき、

g (e^{i θ}) = 1 \cdot e^{i θ}

とおけば、 gは問題の関数全体の集合の元で

g (e^{i α}) \neq g (e^{i β}) /

よって、Xの点を分離する。

また、

g (e^{i α}) \neq 0

なのでXのどの点も零化しない。

（証明終）

b

g (θ) = e^{- i θ}

とおく。

これは

C_{c} (x)

の元である。

また、

\int_{0}^{2 π} e^{- i θ} e^{i θ} d θ = \int_{0}^{2 π} 1 d θ = 2 π \neq 0

よって、 gは問題の関数全体の集合の閉包の元ではない。

ゆえに、問題の関数全体の集合の閉包は

C_{c} (x)

と一致しない。

（証明終）