連続写像の空間ストーン・ワイエルシュトラスの定理多項式の列、漸化式、一様収束、極限、絶対値関数、帰納法、不等式

学習環境

解析入門(中) (松坂和夫数学入門シリーズ 5) (松坂和夫 (著)、岩波書店)の第13章(連続写像の空間)、13.2(ストーン・ワイエルシュトラスの定理)、問題3の解答を求めてみる。

| x | - P_{n + 1} (x)

= | x | - (P_{n} (x) + \frac{x^{2} - {(P_{n} (x))}^{2}}{2})

= | x | - P_{n} (x) - \frac{{| x |}^{2} - {(P_{n} (x))}^{2}}{2}

= | x | - P_{n} (x) - \frac{(| x | - P_{n} (x)) (| x | + P_{n} (x))}{2}

= (| x | - P_{n} (x)) (1 - \frac{| x | + P_{n} (x)}{2})

また、

\begin{array}{l} P_{0} (x) = 0 \\ | x | - P_{0} (x) = | x | - 0 = 0 \end{array}

\begin{array}{l} P_{1} (x) = P_{0} + \frac{x^{2} - P_{0} {(x)}^{2}}{2} = \frac{x^{2}}{2} = \frac{{| x |}^{2}}{2} \\ | x | - P_{1} (x) = (| x | - P_{0} (x)) (1 - \frac{| x | + P_{0} (x)}{2}) \end{array}

xが閉区間

[- 1, 1]

の場合、

0 \leq P_{0} (x) \leq P_{1} (x) = \frac{{| x |}^{2}}{2} \leq | x |^{2} \leq | x |

P_{n + 1} (x) - P_{n} (x)

= \frac{x^{2} - P_{n} (x)}{2}

\geq \frac{x^{2} - {| x |}^{2}}{2}

= 0

| x | - P_{n + 1} (x)

= (| x | - P_{n} (x)) (1 - \frac{| x | + P_{n} (x)}{2})

\geq (| x | - | x |) (1 - \frac{| x | + P_{n} (x)}{2})

= 0

よって、帰納法により、

\begin{array}{l} | x | \leq 1 \\ 0 \leq P_{n} (x) \leq P_{n + 1} (x) \leq | x | \end{array}

また、

| x | - P_{0} (x) \leq | x | = | x | \cdot 1 \leq | x | {(1 - \frac{| x |}{2})}^{0}

| x | - P_{n + 1} (x)

= (| x | - P_{n} (x)) (1 - \frac{| x | + P_{n} (x)}{2})

\leq | x | {(1 - \frac{| x |}{2})}^{n} (1 - \frac{| x |}{2})

\leq | x | {(1 - \frac{| x |}{2})}^{n}

よって帰納法により、

\begin{array}{l} | x | \leq 1 \\ | x | - P_{n} (x) \leq | x | {(1 - \frac{| x |}{2})}^{n} \end{array}

また、関数

\begin{array}{l} f : [0, 1] \to ℝ \\ f (x) = x {(1 - \frac{x}{2})}^{n} \end{array}

について、

f' (x) = {(1 - \frac{x}{2})}^{n} - \frac{n}{2} x {(1 - \frac{x}{2})}^{n - 1}

= {(1 - \frac{x}{2})}^{n - 1} (1 - \frac{x}{2} - \frac{n}{2} x)

= {(1 - \frac{x}{2})}^{n - 1} (1 - \frac{n + 1}{2} x)

\begin{array}{l} 0 \leq x \leq \frac{2}{n + 1} \\ f' (x) \geq 0 \\ \frac{2}{n + 1} \leq x \leq 1 \\ f' (x) \leq 0 \end{array}

なので、fは

x = \frac{2}{n + 1}

のとき最大値をとり、その値は

f (\frac{2}{n + 1}) = \frac{2}{n + 1} {(1 - \frac{1}{n + 1})}^{n}

よって、

0 \leq | x | - P_{n} (x)

\leq | x | {(1 - \frac{| x |}{2})}^{n}

\leq \frac{2}{n + 1} {(1 - \frac{1}{n + 1})}^{n}

< \frac{2}{n + 1}

（証明終）

コード(Wolfram Language, Jupyter)

pn[n_, x_] := If[n == 0, 0, pn[n - 1, x] + (x^2 - pn[n - 1, x]^2) / 2]

pn[0, x]

Table[pn[n, x], {n, 1, 10}]

Simplify[%[[1;;5]]]

Column[%]

Flatten[
    {Abs[x],
     Table[pn[n, x], {n, 1, 10}]}
]

fs = %;

Plot[fs, {x, -1, 1}]

Plot[fs, {x, -1/2, 1/2}]