連続写像の空間ストーン・ワイエルシュトラスの定理一様収束、閉区間、実連続関数、多項式の列、定積分、零

学習環境

解析入門(中) (松坂和夫数学入門シリーズ 5) (松坂和夫 (著)、岩波書店)の第13章(連続写像の空間)、13.2(ストーン・ワイエルシュトラスの定理)、問題2の解答を求めてみる。

fは閉区間

[0, 1]

で定義された実連続関数なので、ワイエルシュトラスの定理より、任意の正の実数

ε > 0

に対して、

\begin{array}{l} P : [0, 1] \to ℝ \\ | f - P | < ε \end{array}

を満たす多項式Pが存在する。

また、問題の仮定より、

\int_{0}^{1} f (x) P (x) = 0

このとき、

\int_{0}^{1} f {(x)}^{2} dx

= \int_{0}^{1} f {(x)}^{2} dx - \int_{0}^{1} f (x) P (x) dx

= \int_{0}^{1} (f {(x)}^{2} - f (x) P (x)) dx

= \int_{0}^{1} f (x) (f (x) - P (x)) dx

\leq \int_{0}^{1} | f (x) (f (x) - P (x)) | dx

= \int_{0}^{1} | f (x) | | f (x) - P (x) | dx

\leq ε \int_{0}^{1} f (x) dx

よって、

\int_{0}^{1} f {(x)}^{2} dx = 0

ゆえに、

\int_{0}^{1} f (x) dx = 0

（証明終）