数学のブログ

視点が動くと 〜ムービング・フレーム〜 曲線のムービング・フレーム 楕円の曲率、サイクロイドの曲率

新装版　幾何学は微分しないと　〜微分幾何学入門〜 (中内伸光(著)、現代数学社)の第2章(視点が動くと 〜ムービング・フレーム〜)、2.1(曲線のムービング・フレーム)の練習問題2.2の解答を求めてみる。

1 （楕円）

dx dt = d dt a ( cos t ) = - a ( sin t )
dy dt = d dt b sin t = b cos t
d 2 x dt 2 = - a ( cos t )
d 2 y dt 2 = - b sin t
k ( t ) = - a ( sin t ) ( - b sin t ) - ( - a ( cos t ) ) b cos t ( a 2 sin 2 t + b 2 cos 2 t ) 3 2
= a b ( a 2 sin 2 t + b 2 cos 2 t ) 3 2

2（サイクロイド）

dx dt = a ( 1 - cos t ) dy dt = a ( sin t ) d 2 x dt 2 = a ( sin t ) d 2 y dt 2 = a ( cos t )
k ( t ) = a ( 1 - cos t ) a ( cos t ) - a ( sin t ) a ( sin t ) ( a 2 ( 1 - cos t ) 2 + a 2 sin 2 t ) 3 2
= a 2 ( cos t - 1 ) a 3 ( 2 - 2 cos t ) 3 2
= - ( 1 - cos t ) 2 3 2 a ( 1 - cos t ) 3 2
= - 1 2 3 2 a 1 - cos t
= - 1 2 3 2 a 2 sin 2 t 2
= - 1 4 a | sin t 2 |

コード(Wolfram Language, Jupyter)

ArcCurvature[{a Cos[t], b Sin[t]}, t]
Output
Simplify[%, a > 0 && b > 0]
Output
ArcCurvature[{a (t - Sin[t]), a (1 - Cos[t])}, t]
Output
Simplify[%, a > 0]
Output
a = 2;
b = 3;
ParametricPlot[{a Cos[t], b Sin[t]}, {t, -Pi, Pi}]
Output
Plot[a b / (a^2Sin[t]^2 + b^2Cos[t]^2)^(3/2), {t, -Pi, Pi}]
Output
ParametricPlot[{a (t - Sin[t]), a (1 - Cos[t])}, {t, -5 Pi, 5 Pi}]
Output
Plot[-1 / (4a Abs[Sin[t] / 2]), {t, -5 Pi, 5 Pi}, PlotRange -> {-1, 1}]
Output