数学のブログ

複素数と複素平面複素数の極形式 1のn乗根、一般化、オイラーの公式、等比級数

複素関数演習
〈理工系の数学入門コース/演習新装版〉
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学習環境

複素関数演習〈理工系の数学入門コース/演習新装版〉 (表実(著)、迫田誠治(著)、岩波書店)の第1章(複素数と複素平面)、1-3(複素数の極形式)、問題5の解答を求めてみる。

1

ω_{n, k} = {(\cos (0 + 2 k π) + i \sin (0 + 2 k π))}^{\frac{1}{n}}

= \cos \frac{2 π k}{n} + i \sin \frac{2 π k}{n}

= e^{i \frac{2 π k}{n}}

= {(e^{\frac{2 π i}{n}})}^{k}

2

α^{\frac{1}{n}} = {(r (\cos (θ + 2 k π) + i \sin (θ + 2 k π)))}^{\frac{1}{n}}

= r^{\frac{1}{n}} {(\cos (θ + 2 k π) + i \sin (θ + 2 k π))}^{\frac{1}{n}}

= r^{\frac{1}{n}} (\cos (\frac{θ}{n} + \frac{2 k π}{n}) + i \sin (\frac{θ}{n} + \frac{2 k π}{n}))

= r^{\frac{1}{n}} e^{i (\frac{θ}{n} + \frac{2 k π}{n})}

= r^{\frac{1}{n}} e^{i \frac{θ}{n}} e^{i \frac{2 k π}{n}}

= r^{\frac{1}{n}} (\cos \frac{Q}{n} + i \sin \frac{θ}{n}) ω_{n, k}

3

\sum_{j = 0}^{n - 1} ω_{n, k}^{j} = \frac{1 - ω_{n, k}^{n}}{1 - ω_{n, k}} = \frac{1 - 1}{1 - ω_{n, k}} = 0

コード(Wolfram Language, Jupyter)

w = Exp[2 Pi I / n]^k

Output

Sum[w^j, {j, 0, n - 1}]

Output

Simplify[%]

Output

Simplify[%, Element[{k, n}, Integers]]

Column[
    Table[
        ComplexListPlot[
            Table[
                Exp[2 Pi I / n]^k,
                {k, 0, n - 1}
            ],
            PlotStyle -> PointSize[Large]
        ],
        {n, 1, 20}
    ]
]

Output