数学のブログ

複素数と複素平面 複素数の極形式 1のn乗根、一般化、オイラーの公式、等比級数

複素関数演習〈理工系の数学入門コース/演習 新装版〉 (表 実(著)、迫田 誠治(著)、岩波書店)の第1章(複素数と複素平面)、1-3(複素数の極形式)、問題5の解答を求めてみる。

1

ω n , k = ( cos ( 0 + 2 k π ) + i sin ( 0 + 2 k π ) ) 1 n
= cos 2 π k n + i sin 2 π k n
= e i 2 π k n
= ( e 2 π i n ) k

2

α 1 n = ( r ( cos ( θ + 2 k π ) + i sin ( θ + 2 k π ) ) ) 1 n
= r 1 n ( cos ( θ + 2 k π ) + i sin ( θ + 2 k π ) ) 1 n
= r 1 n ( cos ( θ n + 2 k π n ) + i sin ( θ n + 2 k π n ) )
= r 1 n e i ( θ n + 2 k π n )
= r 1 n e i θ n e i 2 k π n
= r 1 n ( cos Q n + i sin θ n ) ω n , k

3

j = 0 n - 1 ω n , k j = 1 - ω n , k n 1 - ω n , k = 1 - 1 1 - ω n , k = 0

コード(Wolfram Language, Jupyter)

w = Exp[2 Pi I / n]^k
Output
Sum[w^j, {j, 0, n - 1}]
Output
Simplify[%]
Output
Simplify[%, Element[{k, n}, Integers]]
0
Column[
    Table[
        ComplexListPlot[
            Table[
                Exp[2 Pi I / n]^k,
                {k, 0, n - 1}
            ],
            PlotStyle -> PointSize[Large]
        ],
        {n, 1, 20}
    ]
]
Output