複素数と複素平面複素数の極形式複素数の積と商、三角関数(正弦と余弦)、加法定理

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複素関数演習〈理工系の数学入門コース/演習新装版〉 (表実(著)、迫田誠治(著)、岩波書店)の第1章(複素数と複素平面)、1-3(複素数の極形式)、問題2の解答を求めてみる。

z_{1} z_{2} = r_{1} (\cos θ_{1} + i \sin θ_{1}) r_{2} (\cos θ_{2} + i \sin θ_{2})

= r_{1} r_{2} (\cos θ_{1} \cos θ_{2} - \sin θ r \sin θ_{2} + i (\sin θ_{1} \cos θ_{2} + \cos θ_{2} \sin θ_{2}))

= r_{1} r_{2} (\cos (θ_{1} + θ_{2}) + i \sin (θ_{1} + θ_{2}))

（証明終）

\frac{z_{1}}{z_{2}} = \frac{r_{1} (\cos θ_{1} + i \sin θ_{1})}{r_{2} (\cos θ_{2} + i \sin θ_{2})}

= \frac{r_{1}}{r_{2}} \frac{(\cos θ_{1} + i \sin θ_{1}) (\cos θ_{2} - i \sin θ_{2})}{\cos^{2} θ_{2} + \sin^{2} θ_{2}}

= \frac{r_{1}}{r_{2}} ((\cos θ_{1} \cos θ_{2} + \sin θ_{1} \sin θ_{2}) + i (\sin θ_{1} \cos θ_{2} - \cos θ_{1} \sin θ_{2})))

= \frac{r_{1}}{r_{2}} (\cos (θ_{1} - θ_{2}) + i \sin (θ_{1} - θ_{2}))

（証明終）

コード(Wolfram Language, Jupyter)

z1 = r1 (Cos[theta1] + I Sin[theta1]);
z2 = r2 (Cos[theta2] + I Sin[theta2]);

z1 z2

Simplify[%]

z1/z2

Simplify[%]

Expand[%]

Simplify[%]