数学のブログ

複素数と複素平面 複素数の極形式 累乗根、図示

複素関数演習〈理工系の数学入門コース/演習 新装版〉 (表 実(著)、迫田 誠治(著)、岩波書店)の第1章(複素数と複素平面)、1-3(複素数の極形式)、問題4の解答を求めてみる。

1

( - 1 ) 1 3 = ( cos ( π + 2 n π ) + i sin ( π + 2 n π ) ) 1 3
= cos 2 n + 1 3 π + i sin 2 n + 1 3 π ( n = 0 , 1 , 2 )

2

i 1 2 = ( cos ( π 2 + 2 n π ) + i sin ( π 2 + 2 n π ) ) 1 2
= cos ( π 4 + n π ) + i sin ( π 4 + n π ) ( n = 0 , 1 )

3

( 1 + i 2 ) 1 2 = ( 1 2 · ( 1 2 + 1 2 i ) ) 1 2
= 1 | 2 1 4 | ( cos ( π 4 + 2 n π ) + i sin ( π 4 + 2 n π ) ) 1 2
= | 2 - 1 4 | ( cos ( π 8 + n π ) + i sin ( π 8 + n π ) ) ( n = 0 , 1 )

4

8 1 6 = ( 8 · 1 ) 1 6 = ( 2 3 ( cos 2 n π + i sin 2 n π ) ) 1 6
= 2 ( cos n 3 π + i sin n 3 π ) ( n ∈ ℕ , 0 ≤ n ≤ 5 )

コード(Wolfram Language, Jupyter)

ComplexListPlot[
    Table[Cos[(2n + 1) / 3 Pi] + I Sin[(2 * n + 1) / 3 * Pi], {n, 0, 2}],
    PlotStyle -> PointSize[Large]
]
Output
ComplexListPlot[Table[Cos[Pi / 4 + n Pi] + I Sin[Pi / 4 + n Pi], {n, 0, 1}],
                PlotStyle -> PointSize[Large]]
Output
ComplexListPlot[Table[2^(-1/4) (Cos[Pi / 8 + n Pi] + I Sin[Pi / 8 + n Pi]), {n, 0, 1}],
                PlotStyle -> PointSize[Large]]
Output
ComplexListPlot[
    Table[
        Sqrt[2] (Cos[n Pi / 3] + I Sin[n Pi / 3]),
        {n, 0, 5, 1}
    ],
    PlotStyle -> PointSize[Large]
]
Output