複素数と複素平面複素数の極形式ド・モアブルの公式、帰納法

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複素関数演習〈理工系の数学入門コース/演習新装版〉 (表実(著)、迫田誠治(著)、岩波書店)の第1章(複素数と複素平面)、1-3(複素数の極形式)、問題3の解答を求めてみる。

1.17について。

\prod_{k = 1}^{n} α_{k} = (\prod_{k = 1}^{n - 1} α_{k}) α_{n}

= (\prod_{k = 1}^{n - 1} r_{k}) (\cos \sum_{k = 1}^{n - 1} θ_{k} + i \sin \sum_{k = 1}^{n - 1} θ_{k}) r_{n} (\cos θ_{n} + i \sin θ_{n})

= ((\prod_{k = 1}^{n - 1} r_{k}) r_{n}) (\cos ((\sum_{k = 1}^{n - 1} θ_{k}) + θ_{n}) + i \sin ((\sum_{k = 1}^{n - 1} θ_{k}) + θ_{n}))

= \prod_{k = 1}^{n} r_{k} (\cos \sum_{k = 1}^{n} θ_{k} + i \sin \sum_{k = 1}^{n} θ_{k})

よって帰納法によりすべての自然数に対して成り立つ。

（証明終）

1.18のド・モアブルの公式について。

{(\cos θ + i \sin θ)}^{n} = 1^{n} (\cos \sum_{k = 1}^{n} θ + i \sin \sum_{k = 1}^{n} θ) = \cos n θ + i \sin n θ

（証明終）

コード(Wolfram Language, Jupyter)

(Cos[theta] + I Sin[theta])^n == Cos[n theta] + I Sin[n theta]

Simplify[%, Element[n, PositiveIntegers]]

Table[(Cos[theta] + I Sin[theta])^n == Cos[n theta] + I Sin[n theta], {n, -10, 10}]

% // Simplify