複素数と複素平面複素数とその四則演算 2次方程式の解、-1の平方根

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複素関数演習〈理工系の数学入門コース/演習新装版〉 (表実(著)、迫田誠治(著)、岩波書店)の第1章(複素数と複素平面)、1-1(複素数とその四則演算)、問題3の解答を求めてみる。

方法1

2次方程式の解の公式を利用して求める。

\begin{array}{l} z^{2} = - 1 \\ z^{2} + 1 = 0 \\ z = \pm \sqrt{- 1} = \pm i \end{array}

方法2

実部と虚部を比較して求める。

\begin{array}{l} z = a + b i \\ a, b \in ℝ \end{array}

とおく。

\begin{array}{l} z^{2} = - 1 \\ {(a + b i)}^{2} = - 1 \\ (a^{2} - b^{2}) + 2 a b i = - 1 \end{array}

{\begin{cases} a^{2} - b^{2} = - 1 \\ 2 a b = 0 \end{cases}

a = 0

の場合、

\begin{array}{l} b^{2} = 1 \\ b = \pm 1 \end{array}

b = 0

の場合、

a^{2} = - 1

なので解はない。
よって、

z = 0 \pm i = \pm i

コード(Wolfram Language, Jupyter)

Solve[z^2 == -1, z]