数学のブログ

複素数と複素平面 複素数とその四則演算 級数、等比数列、偶数、奇数

複素関数演習〈理工系の数学入門コース/演習 新装版〉 (表 実(著)、迫田 誠治(著)、岩波書店)の第1章(複素数と複素平面)、1-1(複素数とその四則演算)、問題5の解答を求めてみる。

1

( 1 - z ) ∑ k = 1 n z k - 1
= ∑ k = 1 n z k - 1 - ∑ k = 1 n z k
= ∑ k = 1 n z k - 1 - ∑ k = 2 n + 1 z k - 1
= z 1 - 1 + ∑ k = 2 n z k - 1 - ∑ k = 2 n z k - 1 - z k
= 1 - z k

よって、

( 1 - z ) ∑ k = 1 n z k - 1 = 1 - z k ∑ k = 1 n z k - 1 = 1 - z k 1 - z

2

S 2 n = ∑ k = 1 2 n i k - 1 = 1 - i 2 n 1 - i

nが偶数の場合、

n = 2 k

とおくと、

S 2 n = 1 - i 4 k 1 - i = 1 - ( i 4 ) k 1 - i = 0

nが奇数のとき、

n = 2 k + 1

とおくと、

S 2 n = 1 - i 4 k + 2 1 - i
= 1 - i 4 k · i 2 1 - i
= 1 + 1 k 1 - i
= 2 1 - i
= 2 ( 1 + i ) 2
= 1 + i

コード(Wolfram Language, Jupyter)

Sum[z^(k - 1), {k, 1, n}]
Output
% // TraditionalForm
Output
Sum[I^(k-1), {k, 1, 2n}]
Output
Simplify[%]
Output
Expand[%]
Output
Sum[I^(k - 1), {k, 1, 2 100}]

0
Sum[I^(k - 1), {k, 1, 2 101}]
Output
zs = Table[Sum[I^(k - 1), {k, 1, 2 s}], {s, 1, 100, 1}]
Output