複素数と複素平面複素数とその四則演算二項定理、階乗、組み合わせ、帰納法

学習環境

複素関数演習〈理工系の数学入門コース/演習新装版〉 (表実(著)、迫田誠治(著)、岩波書店)の第1章(複素数と複素平面)、1-1(複素数とその四則演算)、問題4の解答を求めてみる。

{(α + β)}^{n}

= (α + β) {(α + β)}^{n - 1}

= (α + β) \sum_{r = 0}^{n - 1} (\begin{matrix} n - 1 \\ r \end{matrix}) α^{n - 1 - r} β^{r}

= \sum_{r = 0}^{n - 1} (\begin{matrix} n - 1 \\ r \end{matrix}) α^{n - r} β^{r} + \sum_{r = 0}^{n - 1} (\begin{matrix} n - 1 \\ r \end{matrix}) α^{n - 1 - r} β^{r + 1}

= α^{n} + \sum_{r = 1}^{n - 1} (\begin{matrix} n - 1 \\ r \end{matrix}) α^{n - r} β^{r} + \sum_{r = 1}^{n} (\begin{matrix} n - 1 \\ r - 1 \end{matrix}) α^{n - 1 - (r - 1)} β^{r}

= α^{n} + \sum_{r = 1}^{n - 1} (\begin{matrix} n - 1 \\ r \end{matrix}) α^{n - r} β^{r} + \sum_{r = 1}^{n} (\begin{matrix} n - 1 \\ r - 1 \end{matrix}) α^{n - r} β^{r}

= α^{n} + \sum_{r = 1}^{n - 1} (\begin{matrix} n - 1 \\ r \end{matrix}) α^{n - r} β^{r} + \sum_{r = 1}^{n - 1} (\begin{matrix} n - 1 \\ r - 1 \end{matrix}) α^{n - r} β^{r} + β^{n}

= α^{n} + \sum_{r = 1}^{n - 1} ((\begin{matrix} n - 1 \\ r \end{matrix}) + (\begin{matrix} n - 1 \\ r - 1 \end{matrix})) α^{n - r} β^{r} + β^{n}

また、

(\begin{matrix} n - 1 \\ r \end{matrix}) + (\begin{matrix} n - 1 \\ r - 1 \end{matrix})

= \frac{(n - 1)!}{r! (n - 1 - r)!} + \frac{(n - 1)!}{(r - 1)! (n - 1 - (r - 1))!}

= \frac{(n - 1)!}{r! (n - r - 1)!} + \frac{(n - 1)!}{(r - 1)! (n - r)!}

= \frac{(n - r + r) (n - 1)!}{r! (n - r)!}

= \frac{n!}{r! (n - r)!}

= (\begin{matrix} n \\ r \end{matrix})

よって、

{(α + β)}^{n}

= α^{n} + \sum_{r = 1}^{n - 1} (\begin{matrix} n \\ r \end{matrix}) α^{n - r} β^{r} + β^{n}

= \sum_{r = 0}^{n} (\begin{matrix} n \\ r \end{matrix}) α^{n - r} β^{r}

よって、帰納法によりすべての非負整数について成り立つ。

（証明終）

{(\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{i}{\sqrt{2}})}^{4 n}

= \sum_{r = 0}^{4 n} (\begin{matrix} 4 n \\ r \end{matrix}) {(\frac{1}{\sqrt{2}})}^{4 n - r} {(\frac{i}{\sqrt{2}})}^{r}

= \sum_{r = 0}^{2 n} (\begin{matrix} 4 n \\ 2 r \end{matrix}) {(\frac{1}{\sqrt{2}})}^{4 n - 2 r} {(\frac{i}{\sqrt{2}})}^{2 r} + \sum_{r = 0}^{2 n - 1} (\begin{matrix} 4 n \\ 2 r + 1 \end{matrix}) {(\frac{1}{\sqrt{2}})}^{4 n - (2 r + 1)} {(\frac{i}{\sqrt{2}})}^{2 r + 1}

= {(\frac{1}{\sqrt{2}})}^{4 n} (\sum_{r = 0}^{2 n} (\begin{matrix} 4 n \\ 2 r \end{matrix}) {(- 1)}^{r} + i \sum_{r = 0}^{2 n} (\begin{matrix} 4 n \\ 2 r + 1 \end{matrix}) {(- 1)}^{r})

= {(\frac{1}{4})}^{n} {(- 4)}^{n}

= {(- 1)}^{n}

（証明終）

コード(Wolfram Language, Jupyter)

(a + b)^n == Sum[Binomial[n, r] a^(n - r) b^r, {r, 0, n}]

(1/Sqrt[2] + I/Sqrt[2])^(4n)

Simplify[%, Element[n, PositiveIntegers]]

Factor[%]

Expand[%]

Simplify[%, Element[n, PositiveIntegers]]

nums = Table[%, {n, 0, 10}]

{1, -1, 1, -1, 1, -1, 1, -1, 1, -1, 1}

ListPlot[nums]

ListLinePlot[nums]