複素数と複素平面複素平面 2つの複素数の距離、差の絶対値

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複素関数演習〈理工系の数学入門コース/演習新装版〉 (表実(著)、迫田誠治(著)、岩波書店)の第1章(複素数と複素平面)、1-2(複素平面)、問題2の解答を求めてみる。

\begin{array}{l} α_{1} = a + b i \\ α_{2} = c + d i \\ a, b, c, d \in ℝ \end{array}

とおく。

このとき、この2つの複素数の距離は

\sqrt{{(a - c)}^{2} + {(b - d)}^{2}}

また、

| α_{1} - α_{2} | = | (a - c) + (b - d) i | = \sqrt{{(a - c)}^{2} + {(b - d)}^{2}}

よって、2つの複素数の距離は差の絶対値に等しい。

（証明終）

コード(Wolfram Language, Jupyter)

alpha = a + b I;
beta = c + d I;

Abs[alpha - beta]

Simplify[%, Element[{a, b, c, d}, Reals]]

Expand[%, Element[{a, b, c, d}, Reals]]

a = RandomInteger[{-5, 5}];
b = RandomInteger[{-5, 5}];
c = RandomInteger[{-5, 5}];
d = RandomInteger[{-5, 5}];

alpha = a + b I;
beta = c + d I;

Sqrt[(a - c)^2 + (b - d)^2]

Abs[alpha - beta]