数学のブログ

複素数と複素平面 複素平面 円を表す方程式、実部と虚部、半径、共役

複素関数演習〈理工系の数学入門コース/演習 新装版〉 (表 実(著)、迫田 誠治(著)、岩波書店)の第1章(複素数と複素平面)、1-2(複素平面)、問題3の解答を求めてみる。

z = x + y i ( x , y ) ∈ R 2

とおく。

このとき、 問題の方程式は、

| z | 2 - α - z - z - α + | α | 2 = r 2 x 2 + y 2 - ( a - b i ) ( x + y i ) - ( x - y i ) ( a + b i ) + a 2 + b 2 = r 2 x 2 + y 2 - 2 a x - ( ( a - b i ) - ( a + b i ) ) y i + a 2 + b 2 = r 2 x 2 + y 2 - 2 a x - 2 b y + a 2 + b 2 = r 2 ( x - a ) 2 + ( y - b ) 2 = r 2

よって、 問題の方程式は複素平面上で中心

a + b i

半径

r

の円を表す。

問題の方程式を実部と虚部を使わず変形してみる。

( z - α ) ( z - - α - ) = r 2 ( z - α ) ( z - α ) - = r 2

ということで、これが円を表す方程式。
こちらの方が憶えやすいかも。

コード(Wolfram Language, Jupyter)

a = 1 - 2I
Output
ComplexContourPlot[
    Evaluate[
        Table[
            Conjugate[z] z - Conjugate[a] z - Conjugate[z] a + Conjugate[a] a == r^2,
            {r, 1, 5}
        ]
    ],
    {z, -5 - 5I, 5 + 5I}
]
Output
ComplexContourPlot[Abs[z], {z, -3 - 3 I, 3 + 3 I}]
Output

Jupyter上だとComplexContourPlotがうまく描画してくれないみたい。

ということで、実数に変換して描画してみることに。

ContourPlot[
    Evaluate[
        Table[
            (x - Re[a])^2 + (y - Im[a])^2 == r^2,
            {r, 1, 10}
        ]
    ],
    {x, -10, 10},
    {y, -10, 10},
    PlotLegends -> "Expressions"
]
Output