複素数と複素平面複素平面共役複素数、絶対値

学習環境

複素関数演習〈理工系の数学入門コース/演習新装版〉 (表実(著)、迫田誠治(著)、岩波書店)の第1章(複素数と複素平面)、1-2(複素平面)、問題1の解答を求めてみる。

{(\cos θ + i \sin θ)}^{2}

= \cos 2 θ + i \sin 2 θ

よって、この共役複素数は

\cos 2 θ - i \sin 2 θ

| \cos θ + i \sin θ |

= \sqrt{\cos^{2} θ + \sin^{2} θ}

= \sqrt{1}

= 1

\begin{array}{l} z = a + b i \\ a, b \in ℝ \end{array}

とおくと、

| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}

| \bar{z} | = | a - b i | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}

よって、

| z | = | \bar{z} |

| \frac{- 2 + 3 i}{3 - 2 i} |

= | \frac{(- 2 + 3 i) (3 + 2 i)}{9 + 4} |

= \frac{1}{13} | - 12 + 5 i |

= \frac{1}{13} \sqrt{144 + 25}

= 1

コード(Wolfram Language, Jupyter)

Conjugate[(Cos[a] + I Sin[a])^2] == Cos[2 a] - I Sin[2 a]

Simplify[%]

Simplify[%, Element[a, Reals]]

Simplify[%, Element[a, Complexes]]

Abs[Cos[a] + I Sin[a]] == 1

Simplify[%]

Simplify[%, Element[a, Complexes]]

Simplify[%, Element[a, Reals]]

Abs[Cos[1] + I Sin[1]] == 1

Simplify[%]

Abs[z] == Abs[Conjugate[z]]

Abs[(-2+3I) / (3-2I)] == 1