行列と双線形写像 2次形式 対応する双線形形式、ベクトル、座標 ラング線形代数学(下) 楽天ブックス Yahoo! 学習環境 Surface Windows 10 Pro (OS) Nebo(Windows アプリ) iPad MyScript Nebo - MyScript(iPad アプリ(iPadOS)) ハンズ・オン・スタートMathematica® -Wolfram言語™によるプログラミング(参考書籍) Pythonからはじめる数学入門(参考書籍) ラング線形代数学(下) (ちくま学芸文庫) (S.ラング(著)、芹沢 正三(翻訳)、筑摩書房)の8章(行列と双線形写像)、2(2次形式)、練習問題4の解答を求めてみる。 a [ x 1 x 2 ] [ a b b d ] [ x 1 x 2 ] = x 1 x 2 [ a x 1 + b x 2 b x 1 + dx 2 ] [ x 1 x 2 ] = x 1 x 2 a x 1 2 + b x 1 x 2 + b x 1 x 2 + d x 2 2 = x 1 x 2 b = 1 2 , d = 0 よって、求める2次形式に対応する双線形形式は、 1 2 x 1 y 2 + 1 2 x 2 y 1 b [ x 1 x 2 x 3 x 4 ] [ c 11 c 12 c 13 c 14 c 12 c 22 c 23 c 24 c 13 c 23 c 33 c 34 c 14 c 24 c 34 c 44 ] [ x 1 x 2 x 3 x 4 ] = x 1 x 3 + x 4 2 x 1 ( c 11 x 1 + c 12 x 2 + c 13 x 3 + c 14 x 4 ) + x 2 ( c 12 x 1 + c 22 x 2 + c 23 x 3 + c 24 x 4 ) + x 3 ( c 13 x 1 + c 23 x 2 + c 33 x 3 + c 34 x 4 ) + x 4 ( c 14 x 1 + c 24 x 2 + c 34 x 3 + c 44 x 4 ) 2 c 13 = 1 c 13 = 1 2 c 44 = 1 1 2 x 1 y 3 + 1 2 x 3 y 1 + x 4 y 4 c x 1 y 2 + x 2 y 1 - 1 2 x 3 y 4 - 1 2 x 4 y 3 d x 1 y 1 - 5 2 x 2 y 3 - 5 2 x 3 y 2 + x 4 y 4
