数学のブログ

行列と双線形写像対称作用素対称行列、交代行列とその性質、和、一意性、行列式、零

ラング線形代数学(下)
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学習環境

ラング線形代数学(下) (ちくま学芸文庫) (S.ラング(著)、芹沢正三(翻訳)、筑摩書房)の8章(行列と双線形写像)、3(対称作用素)、練習問題1の解答を求めてみる。

a

Mを任意の行列とする。

A = \frac{1}{2} (M + M^{T})

とおくと、Aは対称行列である。

また、

B = \frac{1}{2} (M - M^{T})

とおくと、

B^{T} = \frac{1}{2} (M^{t} - M) = - \frac{1}{2} (M - M^{T}) = - B

なのでBは交称行列（歪対称行列）である。

このとき、

A + B = M

よって、任意の行列は対称行列と交代行列の和としてあらわされる。

対称行列、交代行列の一意性について。

任意の行列Mが対称行列A、Bと交代行列C、 Dによって、

\begin{array}{l} M = A + C \\ M = B + D \end{array}

とあらわされるとする。

このとき、

A^{T} = A, B^{T} = B, C^{T} = - C, D^{T} = - D

\begin{array}{l} A + C = B + D \\ a_{i j} + c_{i j} = b_{i j} + d_{i j} \\ A^{T} - C^{T} = B^{T} - D^{T} \\ a_{i j} - c_{i j} = b_{i j} - d_{i j} \\ 2 a_{i j} = 2 b_{i j} \\ a_{i j} = b_{i j} \\ c_{i j} = d_{i j} \end{array}

よって、

A = B, C = D

ゆえに、2つの行列は一意的に定まる。

（証明終）

b

Aで交代行列とする。

このとき、

A^{2} = A (- A^{T}) = (\sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} a_{i j} a_{j i}) = (\sum_{j = 1}^{n} \sum_{i = 1}^{n} a_{j i} a_{i j})

よって、

A^{2}

は対称行列である。

（証明終）

c

nて長政とし、 A が n x nの交代行列のとき、

\det A = \det (- A^{T}) = {(- 1)}^{n} \det A^{T} = - \det A

よって、

\begin{array}{l} 2 \det A = 0 \\ \det A = 0 \end{array}

（証明終）