数学のブログ

自然法則の微分方程式 微積分の予備知識 複素数と指数関数と三角関数(正弦と余弦)、オイラーの公式、倍角

微分方程式演習〈理工系の数学入門コース/演習 新装版〉 (和達 三樹(著)、矢嶋 徹(著)、岩波書店)の第1章(自然法則の微分方程式)、1-1(微積分の予備知識)、問題3の解答を求めてみる。

1

e i x e i y
= ( cos x + i sin x ) ( cos y + i sin y )
= ( cos x cos y - sin x sin y ) + i ( cos x sin y + sin x cos y )
= cos ( x + y ) + i sin ( x + y )
= e i ( x + y )

2

cos 3 x
= cos ( x + 2 x )
= cos x cos 2 x - sin x sin 2 x
= ( cos x ) ( cos 2 x - sin 2 x ) - ( sin x ) 2 sin x cos x
= cos x ( 2 cos 2 x - 1 ) - 2 sin 2 x cos x
= 2 cos 3 x - cos x - 2 ( 1 - cos 2 x ) cos x
= 2 cos 3 x - cos x - 2 cos x + 2 cos 3 x
= 4 cos 3 x - 3 cos x
sin 3 x
= sin x cos 2 x + cos x sin 2 x
= sin x ( cos 2 x - sin 2 x ) + ( cos x ) ( 2 sin x cos x )
= sin x ( 1 - 2 sin 2 x ) + 2 sin x cos 2 x
= sin x - 2 sin 3 x + 2 ( sin x ) ( 1 - sin 2 x )
= sin x - 2 sin 2 x + 2 sin x - 2 sin 3 x
= - 4 sin 3 x + 3 sin x

コード(Wolfram Language, Jupyter)

Exp[I x] Exp[I y] == Exp[I (x + y)]
Output
Simplify[%]
Output
Expand[%]
Output
Factor[%]
Output
Plot3D[ReIm[Exp[I x] Exp[I y]], {x, -5, 5}, {y, -5, 5},
       AxesLabel -> {x, y}]
Output
Cos[3x] == 4 Cos[x]^3 - 3 Cos[x]
Output
Simplify[%]
Output
Sin[3x] == -4Sin[x]^3 + 3Sin[x]
Output
% // Simplify
Output
Plot[{Cos[3x], Sin[3x]}, {x, -2Pi, 2Pi}]
Output