自然法則の微分方程式微分方程式の解関数が解であることの確認、微分、累乗、指数関数、対数関数

学習環境

微分方程式演習〈理工系の数学入門コース/演習新装版〉 (和達三樹(著)、矢嶋徹(著)、岩波書店)の第1章(自然法則の微分方程式)、1-3(微分方程式の解)、問題1の解答を求めてみる。

\begin{array}{l} y' = a x^{a - 1} \\ y'' = a (a - 1) x^{a \cdot 2} \end{array}

x^{2} a (a - 1) x^{a \cdot 2} - a x a x^{a - 1} + a x^{a}

= (a^{2} - a) x^{a} - a^{2} x^{a} + a x^{a}

= 0

よって与えられた関数を解にもつ。

\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = \frac{dy}{dx} (- \sin x) = - \cos x = - y

y' = a e^{a x} = a y

\frac{d^{2} y}{{dx}^{2}} = \frac{dy}{dx} (a C_{1} e^{a x} - a C_{2} e^{- a x}) = a^{2} C_{1} e^{a x} + a^{2} C_{2} e^{- a x} = a^{2} (C_{1} e^{a x} + C_{2} e^{- a x}) = a y

x y' = C_{1} x e^{C_{1} x}

y \log y = e^{C_{1} x} \log e^{C_{1} x} = C_{1} x e^{C_{1} x}

よって、

x y' = y \log y

コード(Wolfram Language, Jupyter)

DSolve[x^2y''[x] - a x y'[x] + a y[x] == 0, y[x], x]

DSolve[y''[x] == -y[x], y[x], x]

DSolve[y'[x] == a y[x], y[x], x]

DSolve[y''[x] == a^2y[x], y[x], x]

DSolve[x y'[x] == y[x] Log[y[x]], y[x], x]