数学のブログ

自然法則の微分方程式 微分方程式の解 関数が解であることの確認、微分、累乗、指数関数、対数関数

微分方程式演習〈理工系の数学入門コース/演習 新装版〉 (和達 三樹(著)、矢嶋 徹(著)、岩波書店)の第1章(自然法則の微分方程式)、1-3(微分方程式の解)、問題1の解答を求めてみる。

1

y ' = a x a - 1 y ' ' = a ( a - 1 ) x a · 2
x 2 a ( a - 1 ) x a · 2 - a x a x a - 1 + a x a
= ( a 2 - a ) x a - a 2 x a + a x a
= 0

よって 与えられた関数を解にもつ。

2

d 2 y d x 2 = dy dx ( - sin x ) = - cos x = - y

3

y ' = a e a x = a y

4

d 2 y dx 2 = dy dx ( a C 1 e a x - a C 2 e - a x ) = a 2 C 1 e a x + a 2 C 2 e - a x = a 2 ( C 1 e a x + C 2 e - a x ) = a y

5

x y ' = C 1 x e C 1 x
y log y = e C 1 x log e C 1 x = C 1 x e C 1 x

よって、

x y ' = y log y

コード(Wolfram Language, Jupyter)

DSolve[x^2y''[x] - a x y'[x] + a y[x] == 0, y[x], x]
Output
DSolve[y''[x] == -y[x], y[x], x]
Output
DSolve[y'[x] == a y[x], y[x], x]
Output
DSolve[y''[x] == a^2y[x], y[x], x]
Output
DSolve[x y'[x] == y[x] Log[y[x]], y[x], x]
Output