数学のブログ

自然法則の微分方程式 微分方程式の解 微分方程式の解、三角関数、正弦と余弦、倍角

微分方程式演習〈理工系の数学入門コース/演習 新装版〉 (和達 三樹(著)、矢嶋 徹(著)、岩波書店)の第1章(自然法則の微分方程式)、1-3(微分方程式の解)、問題3の解答を求めてみる。

ω ≠ β

のとき、

dx dt = - C 1 β sin β t + C 2 β cos β t + f 0 ω β 2 - ω 2 cos ω t
d 2 x dt 2 = - C 1 β 2 cos β t - C 2 β 2 sin β t - f 0 ω 2 β 2 - ω 2 sin ω t
β 2 x = C 1 β 2 cos β t + C 2 β 2 sin β t + f 0 β 2 β 2 - ω 2 sin ω t
d 2 x d t 2 + β 2 x = β 2 - ω 2 β 2 - ω 2 f 0 sin ω t = f 0 sin ω τ
ω = β

の場合、

d x dt = - C 1 β sin β t + C 2 β cos β t - f 0 2 β ( cos β t - β t sin β t )
d 2 x dt 2 = - C 1 β 2 cos β t - C 2 β 2 sin β t + f 0 2 sin β t + f 0 2 ( sin β t + t β cos β t )
β 2 x = C 1 β 2 cos β t + C 2 β 2 sin β t - f 0 β 2 t cos β t
d 2 x dt 2 + β 2 t = f 0 sin β t

コード(Wolfram Language, Jupyter)

x[t_] := c1 Cos[b t] + c2 Sin[b t] + g / (b^2 - w^2) Sin[w t]

x''[t] + b^2 x[t] == g Sin[w t]
Output
Simplify[%]
Output
y[t_] := c1 Cos[b t] + c2 Sin[b t] + -g / (2b)t Cos[b t]

y''[t] + b^2 y[t] == g Sin[b t]
Output
Simplify[%]
Output
c1 = 1;
c2 = 2;
b = 2;
g = 3;
w = 4;

x[t_] := c1 Cos[b t] + c2 Sin[b t] + g / (b^2 - w^2) Sin[w t]

Plot[{x[t], y[t]}, {t, 0, 10}, PlotLegends -> "Expressions"]
Output