自然法則の微分方程式微分方程式の簡単な例振動、円、自由運動、三角関数(正弦と余弦)、近似

学習環境

微分方程式演習〈理工系の数学入門コース/演習新装版〉 (和達三樹(著)、矢嶋徹(著)、岩波書店)の第1章(自然法則の微分方程式)、1-2(微分方程式の簡単な例)、問題3の解答を求めてみる。

m l \frac{d^{2} θ}{{dt}^{2}} = - m g \sin θ + q E_{0} \sin ω t \cos θ

v = l \frac{d θ}{dt}

よって、抵抗力は

- r v = - r l \frac{d θ}{dt}

ゆえに求める方程式は

m l \frac{d^{2} θ}{{dt}^{2}} = - m g \sin θ + q E_{0} \sin ω t \cos θ - r l \frac{d θ}{dt}

\begin{array}{l} \sin θ = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{(2 n + 1)!} θ^{2 n + 1} ≅ θ \\ \cos θ = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{(2 n)!} θ^{2 n} ≃ 1 \end{array}

で近似すれば、

m l \frac{d^{2} θ}{{dt}^{2}} = - m g θ + q E_{0} \sin ω t - r l \frac{d θ}{dt}

コード(Wolfram Language, Jupyter)

DSolve[
    m l theta''[t] == -m g Sin[theta[t]] + q e0 Sin[w t] Cos[theta[t]] - r l theta'[t],
    theta[t], t
]

DSolve[m l theta''[t] == - m g theta[t] + q e0 Sin[w t] - r l theta'[t], theta[t], t]

Simplify[%]