数と極限数のいろいろ、漸化式相加平均と相乗平均、大小、不等式の証明

学習環境

微分積分演習〈理工系の数学入門コース/演習新装版〉 (和達三樹(著)、十河清(著)、岩波書店)の第1章(数と極限)、1-1(数のいろいろ、漸化式)、問題1の解答を求めてみる。

{(a + b)}^{2} - {(2 \sqrt{a b})}^{2}

= a^{2} - 2 a b + b^{2}

= {(a - b)}^{2}

\geq 0

よって、

{(a + b)}^{2} \geq {(2 \sqrt{a b})}^{2}

a + b \geq 2 \sqrt{a b}

\frac{a + b}{2} \geq \sqrt{a b}

\begin{array}{l} a = x^{3} \\ b = y^{3} \\ c = z^{3} \end{array}

とおく。

\frac{a + b + c}{3} - \sqrt[3]{a b c}

= \frac{x^{3} + y^{3} + z^{3}}{3} - x y z

= \frac{1}{3} (x^{3} + y^{3} + z^{3} - 3 x y z)

= \frac{1}{3} (x + y + z) (x^{2} + y^{2} + z^{2} - x y - y z - z x)

= \frac{1}{3} (x + y + z) \frac{1}{2} ({(x - y)}^{2} + {(y - z)}^{2} + {(z - x)}^{2})

\geq 0

よって、

\frac{a + b + c}{3} \geq \sqrt[3]{a b c}

\frac{a + b + c + d}{4}

= \frac{\frac{a + b}{2} + \frac{c + d}{2}}{2}

\leq \frac{\sqrt{a b} + \sqrt{c d}}{2}

\leq \sqrt{\sqrt{a b} \sqrt{c d}}

= \sqrt{\sqrt{a b c d}}

= \sqrt[4]{a b c d}

コード(Wolfram Language, Jupyter)

Plot3D[{(x + y) / 2, Sqrt[x y]}, {x, 0, 1}, {y, 0, 1}, PlotLegends -> "Expressions"]

Plot3D[(x + y) / 2 - Sqrt[x y], {x, 0, 1}, {y, 0, 1}, PlotLegends -> "Expressions"]

Plot3D[(x + y) / 2 - Sqrt[x y], {x, 0, 1}, {y, 0, 1}, PlotRange -> {-0.1, 0.1}]