数学のブログ

数と極限数のいろいろ、漸化式母関数(enerating function)、フィボナッチ数、一般項、漸化式、無限級数、等比数列、係数の比較

微分積分演習
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学習環境

微分積分演習〈理工系の数学入門コース/演習新装版〉 (和達三樹(著)、十河清(著)、岩波書店)の第1章(数と極限)、1-1(数のいろいろ、漸化式)、問題3の解答を求めてみる。

1

\begin{array}{l} F (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} F_{n} x^{n} \\ x F (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} F_{n} x^{n + 1} = \sum_{n = 1}^{\infty} F_{n - 1} x^{n} \\ x^{2} F (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} F_{n} x^{n + 2} = \sum_{n = 2}^{\infty} F_{n - 2} x^{n} \end{array}

よって、

(1 - x - x^{2}) F (x) = (F_{0} x^{0} + F_{1} x) - F_{0} x + \sum_{n = 2}^{\infty} (F_{n} - F_{n - 1} - F_{n - 2}) x^{n}

F (x) = \frac{1 + 1 - 1}{1 - x - x^{2}} = \frac{1}{1 - x - x^{2}}

また、

\begin{array}{l} 1 - x - x^{2} = 0 \\ x = - \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2} = \frac{- 1 \pm \sqrt{5}}{2} \end{array}

なので、

1 - x - x^{2} = (x - \frac{- 1 + \sqrt{5}}{2}) (x - \frac{- 1 - \sqrt{5}}{2})

= (\frac{1 - \sqrt{5}}{2} x - 1) (\frac{1 + \sqrt{5}}{2} x - 1)

= (α x - 1) (β x - 1)

よって、

\begin{array}{l} F (x) = \frac{1}{1 - x - x^{2}} = \frac{1}{(α x - 1) (β x - 1)} \\ α = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, β = \frac{1 - \sqrt{5}}{2} \end{array}

（証明終）

2

F (x) = \frac{1}{(α x - 1) (β x - 1)}

= \frac{1}{(α - β) x} (\frac{1}{β x - 1} - \frac{1}{α x - 1})

= \frac{1}{\sqrt{5} x} (\frac{1}{1 - α x} - \frac{1}{1 - β x})

xについて

| x | < \frac{2}{1 + \sqrt{5}}

の範囲で考えると、

| a x | < 1 \land | β x | < 1

なので、

F (x) = \frac{1}{\sqrt{5} x} (\sum_{n = 0}^{\infty} {(a x)}^{n} - \sum_{n 20}^{\infty} {(β x)}^{n})

= \frac{1}{\sqrt{5} x} \sum_{n = 0}^{\infty} (α^{n} - β^{n}) x^{n}

= \frac{1}{\sqrt{5}} \sum_{n = 0}^{\infty} (α^{n} - β^{n}) x^{n - 1}

= \frac{1}{\sqrt{5}} \sum_{n = 1}^{\infty} (α^{n} - β^{n}) x^{n - 1}

= \frac{1}{\sqrt{5}} \sum_{n = 0}^{\infty} (α^{n + 1} - β^{n + 1}) x^{n}

また、

F (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} F_{n} x^{n}

なので、係数を比較すれば、

F_{n} = \frac{1}{\sqrt{5}} ({(\frac{1 + \sqrt{5}}{2})}^{n + 1} - {(\frac{1 - \sqrt{5}}{2})}^{n + 1})

（証明終）