数と極限数列と極限合成関数、対数関数と指数関数

学習環境

微分積分演習〈理工系の数学入門コース/演習新装版〉 (和達三樹(著)、十河清(著)、岩波書店)の第1章(数と極限)、1-2(数列と極限)、問題4の解答を求めてみる。

\begin{array}{l} a = b \\ \max {a, b} = a \end{array}

の場合。

\lim_{n \to + \infty} \frac{1}{n} \log (e^{n a} + e^{n b})

= \lim_{n \to + \infty} \frac{1}{n} \log (e^{n a} + e^{n a})

= \lim_{n \to + \infty} \frac{1}{n} \log (2 e^{n a})

= \lim_{n \to + \infty} (\frac{1}{n} (\log 2 + n a))

= a

また、

\begin{array}{l} a < b \\ a - b < 0 \\ \max {a, b} = b \end{array}

の場合。

\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \log (e^{n a} + e^{n b})

= \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \log (e^{n b} (e^{n (a - b)} + 1))

= \lim_{n \to \infty} (b + (\log (e^{n (a - b)} + 1)))

= b + \log 1

= b

また、

\begin{array}{l} a > b \\ b - a < 0 \\ \max {a, b} = a \end{array}

の場合。

\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \log (e^{n a} + e^{n b})

= \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \log (e^{n a} (1 + e^{n (b - a)}))

= \lim_{n \to \infty} (\frac{1}{n} \log e^{n a} + \log (1 + e^{n (b - a)}))

= a + \log 1

= a

よって、

\lim_{n \to + \infty} \frac{1}{n} \log (e^{n a} + e^{n b}) = \max {a, b}

（証明終）

\begin{array}{l} a = b \\ \min (a, b) = a \end{array}

の場合。

\lim_{n \to - \infty} \frac{1}{n} \log (e^{n a} + e^{n b})

= \lim_{n \to + \infty} (\frac{1}{n} (\log 2 + n a))

= a

また、

\begin{array}{l} a > b \\ a - b > 0 \\ \min {a, b} = b \end{array}

の場合。

\lim_{n \to - \infty} \frac{1}{n} \log (e^{n a} + e^{n b})

= \lim_{n \to - \infty} \frac{1}{n} \log (e^{n b} (e^{n (a - b)} + 1))

= b + \log 1

= b

また、

a < b

の場合、同様にして、

\lim_{n \to - \infty} \frac{1}{n} \log (e^{n a} + e^{n b}) = a

よって、

\lim_{n \to - n} \frac{1}{n} \log (e^{n a} + e^{n b}) = \min {a, b}

コード(Wolfram Language, Jupyter)

f[n_] := 1 / n Log[Exp[n a] + Exp[n b]]

l = Limit[f[n], n -> Infinity]

l // TraditionalForm

l // FullForm

l // TreeForm

l = Limit[f[n], n -> -Infinity]

TraditionalForm[l]

f[n_, b_] := 1/n Log[Exp[n 2] + Exp[n b]]

Plot3D[f[n, b], {n, -5, 5}, {b, -5, 5}, AxesLabel -> Automatic]