数と極限数列と極限一般項、極限値の性質、和と商

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微分積分演習〈理工系の数学入門コース/演習新装版〉 (和達三樹(著)、十河清(著)、岩波書店)の第1章(数と極限)、1-2(数列と極限)、問題1の解答を求めてみる。

一般項。

a_{n} = \frac{2 n - 1}{2 n}

極限値。

\lim_{n \to \infty} a

= \lim_{n \to \infty} \frac{2 n - 1}{2 n}

= \lim_{n \to \infty} (1 - \frac{1}{2 n})

= \lim_{n \to \infty} 1 - \lim_{n \to \infty} \frac{1}{2 n}

= 1 - 0

= 1

\lim_{n \to \infty} a_{n}

= \lim_{n \to \infty} \frac{{(n + 1)}^{2}}{n (n + 2)}

= \lim_{n \to \infty} \frac{n^{2} + 2 n + 1}{n^{2} + 2 n}

= \lim_{n \to \infty} \frac{1 + \frac{2}{n} + \frac{1}{n^{2}}}{1 + \frac{2}{n}}

= 1

コード(Wolfram Language, Jupyter)

Table[(2n-1)/(2n), {n, 1, 10}]

Limit[(2n-1)/(2n), n->Infinity]

ListPlot[Table[(2n-1)/(2n), {n, 1, 10}]]

ListPlot[Table[(2n-1)/(2n), {n, 1, 100}]]

Table[(n+1)^2 / (n(n+2)), {n, 1, 10}]

{2^2/(1 3), 3^2/(2 4), 4^2 / (3 5)}

ListPlot[Table[(n+1)^2 / (n(n+2)), {n, 1, 10}]]

ListPlot[Table[(n+1)^2 / (n(n+2)), {n, 1, 100}]]

Limit[(n+1)^2 / (n(n+2)), n -> Infinity]