数と極限数列と極限フィボナッチ数列、2つの項の比、極限値、黄金比

学習環境

微分積分演習〈理工系の数学入門コース/演習新装版〉 (和達三樹(著)、十河清(著)、岩波書店)の第1章(数と極限)、1-2(数列と極限)、問題3の解答を求めてみる。

a_{n} = \frac{F_{n + 1}}{F_{n}} = \frac{F_{n} + F_{n - 1}}{F_{n}} = 1 + \frac{F_{n - 1}}{F_{n}} = 1 + \frac{1}{\frac{F_{n}}{F_{n - 1}}} = 1 + \frac{1}{a_{n - 1}}

a_{n} - a_{n - 1} = (1 + \frac{1}{a_{n - 1}}) - (1 + \frac{1}{a_{n - 2}}) = \frac{1}{a_{n - 1} a_{a - 2}} (a_{n - 2} - a_{n - 1})

（この計算結果は役立ちそうな気がしない。）

a_{n} - a_{n - 2} = (1 + \frac{1}{a_{n - 1}}) - (1 + \frac{1}{a_{n - 3}}) = \frac{1}{a_{n - 1} a_{n - 3}} (a_{n - 3} - a_{n - 1})

また、

\begin{array}{l} a_{0} = \frac{F_{1}}{F_{0}} = \frac{1}{1} = 1 \\ a_{1} = \frac{F_{2}}{F_{1}} = \frac{2}{1} = 2 \\ a_{2} = \frac{F_{3}}{F_{2}} = \frac{3}{2} \\ a_{2} - a_{0} = \frac{3}{2} - 1 = \frac{1}{2} > 0 \end{array}

なので、

\begin{array}{l} 1 = a_{0} < a_{2} < \dots < a_{2 k} < \dots \\ 2 = a_{1} > a_{3} > \dots > a_{2 k + 1} > \dots \end{array}

また、

\begin{array}{l} n > 0 \\ a_{n} > 1 \\ \frac{1}{a_{n + 2} a_{n}} < 1 \end{array}

なので、

1 = a_{0} < \dots < a_{2 k} < \dots < a_{2 k + 1} < \dots < a_{1} = 2

よって、

{(a_{n})}_{n \in ℕ}

は収束する。

（証明終）

極限値をaとおくと、

a = 1 + \frac{1}{a}

a^{2} - a - 1 = 0

a = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}

ただ、

a \geq 0

なので、

a = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}

コード(Wolfram Language, Jupyter)

f[n_] := If[n== 0 || n == 1, 1, f[n-1] + f[n-2]]

a[n_] := f[n+1] / f[n]

Table[f[n], {n, 0, 10, 1}]

{1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89}

Table[a[n], {n, 0, 10, 1}]

N[%]

{1., 2., 1.5, 1.66667, 1.6, 1.625, 1.61538, 1.61905, 1.61765, 1.61818, 1.61798}

(1+Sqrt[5]) / 2

% // N

1.61803

ListLinePlot[
    {
        Table[a[n], {n, 0, 10, 1}],
        Table[(1+Sqrt[5]) / 2, {n, 0, 10, 1}]
    },
    PlotRange -> {1, 2}
]

ListLinePlot[
    {
        Table[a[n], {n, 0, 5, 1}],
        Table[(1+Sqrt[5]) / 2, {n, 0, 5, 1}]
    },
    PlotRange -> {1, 2}
]

ListLinePlot[
    {
        Table[a[n], {n, 0, 20, 1}],
        Table[(1+Sqrt[5]) / 2, {n, 0, 20, 1}]
    },
    PlotRange -> {1, 2}
]