数と極限収束・発散の条件累乗、指数関数、階乗、比

学習環境

微分積分演習〈理工系の数学入門コース/演習新装版〉 (和達三樹(著)、十河清(著)、岩波書店)の第1章(数と極限)、1-3(収束・発散の条件)、問題4の解答を求めてみる。

a_{n} = \frac{a^{n}}{n^{k}}

とおくと、

\begin{array}{l} a_{n} > 0 \\ \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{a^{n + 1}}{{(n + 1)}^{k}} \cdot \frac{n^{k}}{a^{n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{a}{{(1 + \frac{1}{n})}^{k}} = a \end{array}

よって

\lim_{n \to \infty} \frac{r^{n}}{n^{k}} = {\begin{cases} 0 (0 \leq a < 1) \\ \infty (a > 1) \end{cases}

（証明終）

a_{n} = \frac{a^{n}}{n!}

とおくと

\begin{array}{l} a \neq 0 \\ a_{n} > 0 \\ \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} \\ = \lim_{n \to \infty} \frac{a^{n + 1}}{(n + 1)!} \cdot \frac{n!}{a^{n}} \\ = \lim_{n \to \infty} \frac{a}{n + 1} \\ = 0 \\ < 1 \end{array}

よって

\lim_{n \to \infty} \frac{a^{n}}{n!} = 0

また、

a = 0

のとき、

\lim_{n \to \infty} \frac{a^{n}}{n!} = 0

（証明終）

コード(Wolfram Language, Jupyter)

Limit[a^n / n^k, n -> Infinity]

Simplify[%, Element[k, PositiveReals] && Element[a, NonNegativeReals]]

Limit[a^n / Factorial[n], n -> Infinity]

Plot3D[a^n / n^(1/2), {n, 0, 10}, {a, 0, 2}, AxesLabel -> Automatic]

Plot3D[a^n / n, {n, 0, 10}, {a, 0, 2}, AxesLabel -> Automatic]

Plot3D[a^n / n^2, {n, 0, 10}, {a, 0, 2}, AxesLabel -> Automatic]

Manipulate[
    Plot3D[a^n / Factorial[n], {n, 0, m}, {a, 0, 10}, AxesLabel -> Automatic],
    {m, 10, 20}
]