数学のブログ

数と極限 収束・発散の条件 算術平均、数列の極限値、累乗根

微分積分演習〈理工系の数学入門コース/演習 新装版〉 (和達 三樹(著)、十河 清(著)、岩波書店)の第1章(数と極限)、1-3(収束・発散の条件)、問題1の解答を求めてみる。

1

lim n → ∞ log ( 2 3 3 · … · n n ) n = lim n → ∞ ∑ k = 1 n log k k n

また、

lim n → ∞ log n n = 0

よって、

lim n → ∞ log ( 2 3 3 · … · n n ) n = 0

2

lim n → ∞ 1 - 1 n 2 = 1

よって、

lim n → ∞ 1 n ∑ k = 1 n 1 - 1 k 2 = 1

コード(Wolfram Language, Jupyter)

Limit[n^(1/n), n -> Infinity]

1
Limit[Log[n^(1/n)], n -> Infinity]

0
Product[k^(1/k), {k, 2, n}]
Output
Limit[Log[Product[k^(1/k), {k, 2, n}]] / n, n -> Infinity]
Output
Simplify[%]
Output
Table[
    Log[Product[k^(1/k), {k, 2, n}]] / n,
    {n, 2, 10}
]
Output
ListPlot[%]
Output
ListPlot[
    Table[
        Log[Product[k^(1/k), {k, 2, n}]] / n,
        {n, 2, 100}
    ]
]
Output
Limit[Sqrt[1-1/n^2], n -> Infinity]

1
ListPlot[
    Table[
        1 / n Sum[Sqrt[1 - 1 / k^2], {k, 1, n}],
        {n, 1, 10}
    ]
]
Output
ListPlot[
    Table[
        1 / n Sum[Sqrt[1 - 1 / k^2], {k, 1, n}],
        {n, 1, 100}
    ]
]
Output