数学のブログ

数と極限収束・発散の条件漸化式、比、有界単調数列

微分積分演習
〈理工系の数学入門コース/演習新装版〉
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学習環境

微分積分演習〈理工系の数学入門コース/演習新装版〉 (和達三樹(著)、十河清(著)、岩波書店)の第1章(数と極限)、1-3(収束・発散の条件)、問題3の解答を求めてみる。

1

0 < ε < 1 - r

を満たす任意の実数

ε

に対してある正の整数Nが存在して、

n > N

ならば

| \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} - r | < ε

- ε < \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} - r < ε

r - a < \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} < r + ε

a_{n + 1} < (r + ε) a_{1}

また、

r + ε < 1

よって、

0 < a_{n}, a_{n} > a_{n + 1}

ゆえに、下に有界な減少列なので収束する。

また、

0 < a_{n} < {(r + ε)}^{N - n} a_{N}

\lim_{n \to \infty} {(r + a)}^{N - n} a_{N} = 0

よって、

\lim_{n \to \infty} a_{n} = 0

（証明終）

2

0 < ε < r - 1

を満たす実数に対して、ある正の整数Nが存在して、

n > N

ならば

| \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} - r | < ε

- ε < \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} - r < ε

\begin{array}{l} r - ε < \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} < r + ε \\ (r - ε) a_{n} < a_{n + 1} \\ {(r - ε)}^{N - n} a_{N} < a_{n} \end{array}

また、

r - ε > 1

なので、

\lim_{n \to \infty} {(r - ε)}^{N - n} a_{N} = \infty

よって、

\lim_{n \to \infty} a_{n} = \infty

（証明終）