数学のブログ

数と極限 収束・発散の条件 指数関数、階乗、積

微分積分演習〈理工系の数学入門コース/演習 新装版〉 (和達 三樹(著)、十河 清(著)、岩波書店)の第1章(数と極限)、1-3(収束・発散の条件)、問題5の解答を求めてみる。

1

2 n + 1 ( n + 1 ) ( 2 ( n + 1 ) n + 1 ) · n ( 2 n n ) 2 n
= 2 n n + 1 · ( 2 ( n + 1 ) - ( n + 1 ) ) ! ( n + 1 ) ! ( 2 ( n + 1 ) ) ! · ( 2 n ) ! ( 2 n - n ) ! n !
= 2 n n + 1 · ( ( n + 1 ) ! ) 2 ( 2 n + 2 ) ! · ( 2 n ) ! ( n ! ) 2
= 2 n n + 1 · ( n + 1 ) 2 ( 2 n + 2 ) ( 2 n + 1 )
= 2 n ( n + 1 ) 2 ( n + 1 ) ( 2 n + 1 )
= n 2 n + 1
lim n → x n 2 n + 1 = 1 2 < 1

また、

2 n n ( 2 n n ) > 0

よって、

lim n → ∞ 2 n n ( 2 n n ) = 0

（証明終）

2

∏ k = 2 n ( 1 - 1 k 2 )
= ∏ k = 2 n k 2 - 1 k 2
= ∏ k = 2 n ( k - 1 ) ( k + 1 ) k 2
= 2 - 1 2 · n + 1 n
= n + 1 2 n
lim n → ∞ ∏ k = 2 n ( 1 - 1 k 2 ) = lim n → ∞ n + 1 2 n = 1 2

（証明終）

コード(Wolfram Language, Jupyter)

combination[n_, m_] := Factorial[n] / (Factorial[n - m] Factorial[m])

Limit[2^n / (n combination[2n, n]), n -> Infinity]

0
Limit[Product[(1 - 1/k^2), {k, 2, n}], n -> Infinity]
Output
ListLinePlot[
    Table[
        2^n / (n combination[2n, n]),
        {n, 1, 10}
    ]
]
Output
Show[
    ListLinePlot[
        Table[
            Product[1 - 1/k^2, {k, 2, n}],
            {n, 2, 20}
        ],
        PlotRange -> {0, 1}
    ],
    ListLinePlot[Table[1/2, {n, Range[20 - 1]}], PlotStyle -> Red]
]
Output