数と極限収束・発散の条件対数関数、自然対数の底(ネイピア数、オイラー数)、広義積分

学習環境

微分積分演習〈理工系の数学入門コース/演習新装版〉 (和達三樹(著)、十河清(著)、岩波書店)の第1章(数と極限)、1-3(収束・発散の条件)、問題2の解答を求めてみる。

\lim_{n \to \infty} n \log (\frac{n + 1}{n})

= \lim_{n \to \infty} \log {(1 + \frac{1}{n})}^{n}

= \log e

= 1

\frac{n}{\sqrt[n]{n!}} = {(\frac{n^{n}}{n!})}^{\frac{1}{n}} = {(\prod_{= 0}^{n - 1} \frac{n}{n - k})}^{\frac{1}{n}} = {(\prod_{k = 0}^{n - 1} \frac{n - k}{n})}^{- \frac{1}{n}} = {(\prod_{k = 0}^{n - 1} (1 - \frac{k}{n}))}^{- \frac{1}{n}}

両辺の対数をとると、

\log \frac{n}{\sqrt[n]{n!}} = - \frac{1}{n} \sum_{k = 0}^{n - 1} \log (1 - \frac{k}{n})

よって、

\lim_{n \to \infty} \log \frac{n}{\sqrt[n]{n!}} = - \int_{0}^{1} \log (1 - x) dx

広義積分を考える。

0 < b < 1

を満たす実数に対して、

\int_{0}^{b} \log (1 - x) dx

= {[x \log (1 - x)]}_{0}^{b} + \int_{0}^{b} \frac{x}{1 - x} dy

= b \log (1 - b) - \int_{0}^{b} \frac{1 - x - 1}{1 - x} dx

= b \log (1 - b) - \int_{0}^{b} (1 - \frac{1}{1 - x}) dx

= b \log (1 - b) - b - {[\log (1 - x)]}_{0}^{b}

= b \log (1 - b) - b - \log (1 - b)

= - (1 - b) \log (1 - b) - b

よって、

\lim_{b \to 1} \int_{0}^{b} \log (1 - b) dx = - 1

ゆえに、

\lim_{n \to \infty} \log \frac{n}{\sqrt[n]{n!}} = 1

\lim_{n \to \infty} \frac{n}{\sqrt[n]{n!}} = e

（証明終）

コード(Wolfram Language, Jupyter)

Limit[n Log[(n + 1)/n], n -> Infinity]

ListPlot[Table[n Log[(n + 1) / n], {n, 1, 100, 1}]]

Limit[n / Factorial[n]^(1/n), n -> Infinity]

ListPlot[Table[n / Factorial[n]^(1/n), {n, 1, 100, 1}]]