数学のブログ

多変数の関数 微分可能性と勾配 定義域、開集合、内積、勾配ベクトル、偏微分

続 解析入門 (原書第2版) (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第3章(多変数の関数)、3(微分可能性と勾配)の練習問題5.の解答を求めてみる。

2変数の場合。

A = ( a 1 , a 2 )

とおく。

H = ( h , 0 ) h ≠ 0

とすれば、

f ( X + H ) - f ( H ) h = a 1 + h 2 g ( H )
f ( X + H ) - f ( H ) = a 1 h + h 2 g ( H )

これは

H → O

のとき、

h → 0 d dx 1 f ( X ) = a 1

また、

H = ( 0 , h )

とおけば、

f ( X + H ) - f ( H ) = a 2 h + h 2 g ( H )
f ( X + H ) - f ( H ) h = a 2 + h 2 g ( H )

となり、

H → O

ならば、

h → 0 d dx 1 f ( X ) = a 1

よって、

g r a d f ( x 1 , x 2 ) = ( a 1 , a 2 )

3変数の場合、

A = ( a 1 , a 2 , a 3 ) ( h , 0 , 0 ) , ( 0 , h , 0 ) , ( 0 , 0 , h )

として2変数の場合と同様にして考えれば、

g r a d f ( x 1 , x 2 , x 3 ) = ( a 1 , a 2 , a 3 )

さらにn変数の場合も日本たにして考えれば、

g m d f ( X ) = A

（証明終）