数学のブログ

多変数の関数 微分可能性と勾配ベクトル 開集合で定義された関数、偏導関数の存在、有界、連続性、平均値の定理

解析入門(中) (松坂和夫 数学入門シリーズ 5) (松坂 和夫 (著)、岩波書店)の第14章(多変数の関数)、14.1(微分可能性と勾配ベクトル)、問題9の解答を求めてみる。

x = ( x 1 , … , x n ) ∈ ℝ n

をUの任意の元とする。

h = ( h 1 , … , h n )

をUの任意の元とする。

xとhを結ぶ線分がUに含まれるとき、

f ( x + h ) - f ( x )
= f ( x 1 + h 1 , … , x n + h n ) - f ( x 1 , … , x n )
= f ( x 1 + h 1 , … , x n + h w ) - f ( x 1 , x 2 + h 1 , … , x n + h n ) + f ( x 1 , x 2 + h 2 , … , x n + h n ) - f ( x 1 , x 2 , … , x n + h n ) ⋮ + f ( x 11 x 2 , … , x n + h n ) - f ( x 1 , … , x n )

問題の仮定より、fはUにおいて偏導関数

D i f ( i = 1 , … , n )

が存在するので、平均値の定理により、

f ( x + h ) - f ( h )
= h 1 D 1 f ( x 1 + θ 1 h 1 , … , x n + h n ) + h 2 D 2 f ( x 1 , x 2 + θ 2 h 2 , · · - , x n + h n ) ⋮ + h n D n f ( x 1 , … , x n + θ n h n ) θ < θ i < 1 ( i = 1 , … , n )

また、 仮定により偏導問数は有界なので、

| D 1 f | ≤ M i

を満たす実数

M i

が存在する。

M = max { M 1 , … , M n }

とおくと、

| f ( x + h ) - f ( x ) | ≤ M ∑ k = 1 n | h k |

また、

lim h → O M ∑ k = 1 n | h k | = 0

よって、

lim h → O | f ( x + h ) - f ( x ) | = 0

すなわち

lim h → O f ( x + h ) = f ( x )

ゆえに、 fはUにおいて連続である。

（証明終）