多変数の関数微分可能性と勾配ベクトル連結開集合、勾配ベクトルが零な場合、定数

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解析入門(中) (松坂和夫数学入門シリーズ 5) (松坂和夫 (著)、岩波書店)の第14章(多変数の関数)、14.1(微分可能性と勾配ベクトル)、問題8の解答を求めてみる。

{a + t (b - a) | 0 \leq t \leq 1} \subset U

を満たすUの点 a、 b に対して、

\begin{array}{l} g : [0, 1] \to U \\ g (t) = a + t (b - a) \end{array}

という写像を考えると、問題の仮定より、

\frac{d}{dt} f (g (t)) = g r a d f (g (t)) \cdot g' (t) = O \cdot g (t) = 0

よって、

\begin{array}{l} f (g (0)) = f (g (1)) \\ f (a) = f (b) \end{array}

また、 Uは連結開集合なので、 Uの任意の2点はU内の折れ線によって結ばれるから、

Uの任意の2点x、 yに対して、

f (x) = f (y)

よって、fはUにおいて定数である。

（証明終）