数学のブログ

多変数の関数 微分可能性と勾配ベクトル 楕円、接線、曲面、接平面

解析入門(中) (松坂和夫 数学入門シリーズ 5) (松坂 和夫 (著)、岩波書店)の第14章(多変数の関数)、14.1(微分可能性と勾配ベクトル)、問題6の解答を求めてみる。

a

f ( x , y ) = x 2 a 2 + y 2 b 2 g r a d f ( x , y ) = ( 2 x a 2 , 2 y b 2 ) = 2 ( x a 2 , y b 2 )

求める接線に垂直なベクトルの1つは

( x 0 a 2 , y 0 b 2 )

よって、 点

( x 0 , y 0 )

を通る問題の楕円の接線の方程式は、

x 0 x a 2 + y 0 y b 2 = x 0 2 a 2 + y 0 2 b 2 x 0 x a 2 + y 0 y b 2 = 1

b

f ( x , y , z ) = x 2 + y 2 - z g r a d f ( X ) = ( 2 x , 2 y , - 1 ) g r a d f ( 1 , - 2 , 5 ) = ( 2 , - 4 , - 1 )
2 x - 4 y - z = 2 + 8 - 5 2 x - 4 y - z = 5

c

f ( x , y , z ) = x y z g r a d f ( X ) = ( y z , z x , x y ) g r a d f ( x 0 , y 0 , z 0 ) = ( y 0 z 0 , z 0 x 0 , x 0 y 0 )
y 0 z 0 x + z 0 x 0 y + x 0 y 0 z = 3 x 0 y 0 z 0 y 0 z 0 x + z 0 x 0 y + x 0 y 0 z = 3

d

f ( x , y , z ) = x y - z 2 g r a d f ( X ) = ( y , x , - 2 z ) g r a d f ( 1 , 4 , 2 ) = ( 4 , 1 , - 4 )
4 x + y - 4 z = 4 + 4 - 8 4 x + y - 4 z = 0

コード(Wolfram Language, Jupyter)

a = 2;
b = 3;

Solve[x0^2/a^2 + y0^2/b^2 == 1, y0]
Output
ContourPlot[
    {
        x^2/a^2 + y^2/b^2 == 1,
        x/a^2 + 3 Sqrt[3]/2 y / b^2 == 1,
        x == 1,
        y == 3 Sqrt[3] / 2
    },
    {x, -5, 5},
    {y, -5, 5},
    FrameLabel -> Automatic
]
Output
ContourPlot3D[
    {
        z == x^2 + y^2,
        2x-4y-z == 5
    },
    {x, -10, 10}, {y, -10, 10}, {z, -10, 10}
]
Output
ContourPlot3D[
    {
        x y z == 1,
        x + 1/2y+2z == 3
    },
    {x, -5, 5}, {y, -5, 5}, {z, -5, 5}
]
Output
ContourPlot3D[
    {
        z^2==x y,
        4x+y-4z== 0
    },
    {x, -10, 10}, {y, -10, 10}, {z, -10, 10}
]
Output