多変数の関数微分可能性と勾配ベクトル和、スカラー倍、積、商の微分

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解析入門(中) (松坂和夫数学入門シリーズ 5) (松坂和夫 (著)、岩波書店)の第14章(多変数の関数)、14.1(微分可能性と勾配ベクトル)、問題5の解答を求めてみる。

g r a d (f + g)

= (D_{1} (f + g), \dots, D_{n} (f + g))

= (D_{1} f_{1} + D_{1} g_{1}, \dots, D_{n} f_{n} + D_{n} g_{n})

= (D_{1} f_{1}, \dots, D_{n} f_{n}) + (D_{1} g_{1}, \dots, D_{n} g_{n})

= g r a d f + g r a d g

D_{i} (f g) = (D_{i} f) g + f (D_{i} g)

よって、

g r a d (f g) = f (g r a d g) + g (g r a d f)

D_{i} (c f) = c D_{i} f

よって、

g r a d (c f) = c (g r a d f)

D_{i} \frac{1}{f} = - \frac{1}{f^{2}} (D_{i} f)

よって

g r a d \frac{1}{f} = - \frac{1}{f^{2}} g r a d f

コード(Wolfram Language, Jupyter)

Grad[f[x, y] + g[x, y], {x, y}] == Grad[f[x, y], {x, y}] + Grad[g[x, y], {x, y}]

Grad[f[x, y] * g[x, y], {x, y}] == f[x, y] * Grad[g[x, y], {x, y}] + g[x, y] * Grad[f[x, y], {x, y}]

Grad[c f[x, y], {x, y}] == c Grad[f[x, y], {x, y}]

Grad[1/f[x, y], {x, y}] == -1/f[x, y]^2 Grad[f[x, y], {x, y}]