数学のブログ

多変数の関数 微分可能性と勾配ベクトル 偏微分可能性と連続性

解析入門(中) (松坂和夫 数学入門シリーズ 5) (松坂 和夫 (著)、岩波書店)の第14章(多変数の関数)、14.1(微分可能性と勾配ベクトル)、問題7の解答を求めてみる。

( x , y ) ≠ ( 0 , 0 ) ( D 1 f ) ( x , y ) = y ( x 2 + y 2 ) - x y · 2 x ( x 2 + y 2 ) 2 = y ( y 2 - x 2 ) ( x 2 + y 2 ) ( D 2 f ) ( x , y ) = x ( x 2 - y 2 ) ( x 2 + y 2 ) 2
( x , y ) = ( 0 , 0 ) f ( x , y ) = 0 ( D 1 f ) ( x , y ) = 0 ( D 2 f ) ( x , y ) = 0

よって、

f ( x , y )

は

ℝ 2

のすべての点

( x , y ) = ( 0 , 0 )

において

( D 1 f ) ( x , y ) ( D 2 f ) ( x , y )

が存在する。

原点における連続性について。

x ≠ 0 lim x → 0 f ( x , x ) = lim x → 0 x 2 x 2 + x 2 = lim x → 0 1 1 + 1 = 1 2 ≠ 0 = f ( 0 , 0 )

よって、原点において連続ではない。

（証明終）

コード(Wolfram Language, Jupyter)

f[x_, y_] := If[x == y == 0, 0, x y / (x^2+y^2)]

Grad[f[x, y], {x, y}]
Output
Simplify[%]
Output
Plot3D[f[x, y], {x, -5, 5}, {y, -5, 5}, AxesLabel -> Automatic]
Output
Limit[f[x, x], x -> 0]
Output
ListPlot[Table[f[n, n], {n, -5, 5}]]
Output