多変数の関数微分可能性と勾配ベクトルノルム、合成関数、累乗、対数関数、指数関数

学習環境

解析入門(中) (松坂和夫数学入門シリーズ 5) (松坂和夫 (著)、岩波書店)の第14章(多変数の関数)、14.1(微分可能性と勾配ベクトル)、問題3の解答を求めてみる。

g r a d f (x) = g r a d r^{k} = g r a d {| x |}^{k}

= g r a d {(\sqrt{\sum_{k = 1}^{n} x_{i}^{2}})}^{k}

= k {(\sqrt{\sum_{k = 1}^{n} x_{i}^{2}})}^{k - 1} \frac{x}{\sqrt{\sum_{k = 1}^{n} x_{i}^{2}}}

= k r^{k - 2} x

g r a d \frac{1}{{| x |}^{k}}

= - k {| x |}^{- k - 1} \frac{x}{| x |}

= - k r^{- k - 2} x

g r a d \log | x |

= g r a d \log | x |

= \frac{x}{| x | | x |}

= \frac{x}{{| x |}^{2}}

= \frac{x}{r^{2}}

g r a d e^{- r^{2}}

= e^{- r^{2}} (- 2 r) \cdot \frac{x}{r}

= - 2 e^{- r^{2}} x

コード(Wolfram Language, Jupyter)

r[x_, y_] = Norm[{x, y}]

f[x_, y_] := r[x, y]^k

Grad[f[x, y], {x, y}]

Simplify[%]

% == k r^(k - 2){x, y}

Simplify[%]

Simplify[%, Element[k, PositiveIntegers]]

Simplify[%, Element[{x, y}, Reals]]

Plot3D[
    Norm[{x, y}]^2, {x, -5, 5}, {y, -5, 5},
    AxesLabel -> Automatic
]

Plot3D[1/Norm[{x, y}]^2, {x, -5, 5}, {y, -5, 5}, AxesLabel -> Automatic]

Plot3D[Log[Norm[{x, y}]], {x, -5, 5}, {y, -5, 5}, AxesLabel -> Automatic]

Plot3D[Exp[-Norm[{x, y}]^2], {x, -5, 5}, {y, -5, 5}, AxesLabel -> Automatic]