数学のブログ

多変数の関数 反復偏微分 2変数の関数、連続偏導関数、等式、順序

続 解析入門 (原書第2版) (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第3章(多変数の関数)、4(反復偏微分)の練習問題20の解答を求めてみる。

∂ 2 f ∂ x 2
= ∂ ∂ x ( - ∂ g ∂ y )
= - ∂ 2 g ∂ x ∂ y
∂ 2 f ∂ y 2
= ∂ ∂ y ( ∂ g ∂ x )
= ∂ 2 g ∂ y ∂ x
= ∂ 2 g ∂ x ∂ y

よって、

∂ 2 f ∂ x 2 + ∂ 2 f ∂ y 2 = 0

（証明終）